Funciones

Conceptos básicos

  • Una función es una relación entre dos conjuntos numéricos.
    • Ejemplo:
      • Conjunto A: 1 2 3 4
      • Conjunto B: 2 4 6 8 10
      • Cada elemento de B es el doble de A → y = 2x o f(x) = 2x
    • Representación:
      • Algebraica: y = 2x
      • Conjuntos: X y Y (A y B)
      • Gráfica: Plano cartesiano, puntos correspondientes a pares (x, y)
      • Tabla de valores: mostrar cada x con su y
    • Función de primer grado:
      • A partir de la gráfica, se puede calcular y para un x dado sin conocer la expresión algebraica.
      • Ejemplo: encontrar y cuando x = -3.

Dominio y recorrido

  • Dominio: conjunto de valores que puede tomar x.
    • Determinado a partir de la gráfica.
    • Ejemplo: empieza en -6 (punto cerrado) y termina en 8 (punto abierto)
    • Notación: [-6, 8)
  • Recorrido: conjunto de valores que puede tomar y.
    • Ejemplo: de -2 (cerrado) a 7 (abierto)
    • Notación: [-2, 7)

Punto de corte con los ejes

  • Punto donde la gráfica atraviesa los ejes.
    • Eje X: puede tener varios puntos de corte.
    • Eje Y: máximo un punto de corte; nunca más de uno.
  • Coordenadas: (x, y)
  • Signo de la función:
    • Intervalos donde la función es positiva o negativa.
    • Ejemplo: función positiva del -4 al -3, negativa hasta 3, positiva a partir de ahí.
    • Se indican intervalos de x, no de y.

Simetría

  • Gráfica:
    • Función par: simétrica respecto al eje Y
    • Función impar: simétrica respecto a la bisectriz del primer cuadrante
    • Función sin simetría: no cumple ninguna norma
  • Algebraica:
    • Una función es par si f(-x) = f(x) para todo x.
    • Ejemplo: (-x)^2 = x^2
    • Para polinomios: todos los exponentes pares + término independiente → función par.

Periodicidad

  • Función que se repite en intervalos de longitud T.
  • Se repite a lo largo del eje X.

Monotonía

  • Crecimiento: aumenta x → aumenta y
  • Decrecimiento: aumenta x → disminuye y
  • Se indica mediante intervalos abiertos, usando ∪ para unión de intervalos.

Máximos y mínimos

  • Relativos:
    • Máximo relativo: valor más alto de su entorno
    • Mínimo relativo: valor más bajo de su entorno
  • Absolutos:
    • Máximo absoluto: valor más alto en todo el dominio
    • Mínimo absoluto: valor más bajo en todo el dominio

Continuidad y discontinuidad

  • Función continua: se puede dibujar sin levantar el lápiz.
  • Tipos de discontinuidad:
    • Evitable: solo un punto interrumpe
    • Salto finito
    • Salto infinito
  • Asíntota vertical: la función se aproxima a un valor pero no lo toca (tiende al infinito)

Tipos de funciones según su expresión

  • Funciones polinómicas
    • Grado 0: constante
    • Grado 1: lineal
    • Grado 2: cuadrática → forma: ax^2 + bx + c
    • Grado n: general
  • Funciones racionales
    • Cociente de polinomios: f(x) = P(x)/Q(x)
    • Dominio: valores donde Q(x) ≠ 0
  • Funciones radicales
    • Contienen raíces: f(x) = √x o f(x) = √(x-3)
    • Dominio: valores que no generan raíces negativas
  • Funciones exponenciales
    • Forma: f(x) = a^x
    • Crecen/decrecen rápidamente según a > 1 o 0 < a < 1
  • Funciones logarítmicas
    • Inversa de las exponenciales: f(x) = log_a(x)
    • Dominio: x > 0
  • Funciones trigonométricas
    • sen(x), cos(x), tan(x) y sus transformaciones
    • Periodicidad, amplitud, fase, frecuencia

Transformaciones de funciones

  • Traslaciones horizontales y verticales
  • Reflexiones respecto a los ejes
  • Estiramiento y compresión (factor de escala)

Composición de funciones

  • Notación: (f∘g)(x) = f(g(x))
  • Dominio de la composición: valores de x que cumplen con g(x) ∈ dominio de f

Función inversa

  • Existe si la función es biyectiva (inyectiva + sobreyectiva)
  • Notación: f⁻¹(x)
  • Gráfica: simétrica respecto a la bisectriz y = x

Límites y comportamiento al infinito

  • Límite cuando x → ∞ o x → -∞
  • Asíntotas horizontales: cuando la función se aproxima a un valor constante
  • Asíntotas oblicuas: pendiente diferente de cero

Funciones definidas por partes

  • Una función puede definirse con distintas expresiones según el intervalo de x.
    • Ejemplo:
      • f(x) = { x^2, si x < 0; 2x+1, si x ≥ 0 }
  • Útil para modelar fenómenos con comportamiento diferente en distintos rangos.
  • Dominio y recorrido se analizan considerando cada parte.

Funciones compuestas y encadenadas

  • Composición de más de dos funciones: (f∘g∘h)(x) = f(g(h(x)))
  • Evaluación paso a paso:
    • Primero h(x)
    • Luego g(h(x))
    • Finalmente f(g(h(x)))
  • Dominio: intersección de dominios de cada función implicada.

Funciones inyectivas, sobreyectivas y biyectivas

  • Inyectiva: cada valor de y tiene a lo sumo un valor de x.
  • Sobreyectiva: cada valor posible de y es alcanzado por algún x.
  • Biyectiva: cumple ambas → garantiza existencia de inversa.

Funciones crecientes y decrecientes estrictas

  • Más estricta que la monotonía:
    • Creciente estricta: x1 < x2 → f(x1) < f(x2)
    • Decreciente estricta: x1 < x2 → f(x1) > f(x2)
  • Útil para determinar inyectividad.

Funciones continuas y derivables

  • Derivabilidad: existe la derivada f'(x) en cada punto.
  • Función derivable → continua, pero función continua → no siempre derivable.
  • Relación con extremos locales:
    • f'(x) = 0 → posibles máximos o mínimos relativos.

Aplicaciones de funciones

  • Física: posición, velocidad, aceleración
  • Economía: costo, ingreso, beneficio
  • Ingeniería: señales, sistemas de control
  • Informática: algoritmos de crecimiento, complejidad temporal

    Operaciones con matrices

Conceptos básicos

  • Operaciones: suma, resta y producto de matrices
  • Matrices: n filas × n columnas
  • Producto de matrices:
    • Número de columnas de la primera = número de filas de la segunda
    • Generalmente no conmutativo → A * B ≠ B * A
    • Resultado: matriz con n filas de la primera y n columnas de la segunda
    • Ejemplo: matriz 3×2 → calcular elemento fila 1, columna 1 → suma de productos
  • Suma y resta:
    • Solo se pueden sumar/restar matrices de igual dimensión

Matriz transpuesta

  • Intercambiar filas por columnas: A^T
  • Propiedades: (A^T)^T = A, (A + B)^T = A^T + B^T, (AB)^T = B^T A^T

Matriz inversa

  • Solo para matrices cuadradas
  • A * A⁻¹ = I donde I es la identidad
  • Método de cálculo: Gauss-Jordan, cofactores, adjunta

Determinante

  • Valor escalar asociado a matrices cuadradas
  • Propiedades:
    • Determinante de matriz triangular: producto de la diagonal
    • Si se intercambian filas: cambia de signo
    • Determinante de producto: det(AB) = det(A) * det(B)

Rango de una matriz

  • Número máximo de filas/columnas linealmente independientes
  • Relacionado con solución de sistemas lineales

Operaciones especiales

  • Matriz identidad: I_n
  • Matriz nula: todos sus elementos son 0
  • Matriz diagonal: elementos solo en la diagonal principal
  • Matriz simétrica: A = A^T
  • Matriz antisimétrica: A = -A^T

Sistemas de ecuaciones lineales usando matrices

  • Representación: AX = B
  • Solución:
    • Si det(A) ≠ 0 → solución única: X = A⁻¹ * B
    • Si det(A) = 0 → ninguna o infinitas soluciones
  • Método de Gauss, Gauss-Jordan, inversa, regla de Cramer

Propiedades avanzadas de matrices

  • Matriz ortogonal: A^T = A⁻¹
  • Matriz triangular: superior o inferior
  • Matriz escalar: diagonal con todos los elementos iguales
  • Matriz de permutación: reordena filas o columnas

Rango y nulidad

  • Rango (Rank): número de filas o columnas linealmente independientes
  • Nulidad (Nullity): dimensión del espacio de soluciones homogéneas (AX = 0)
  • Teorema fundamental: rango(A) + nulidad(A) = número de columnas

Determinantes especiales

  • Determinante de matriz triangular: producto de la diagonal
  • Determinante de matriz diagonal o escalar: producto de los elementos de la diagonal

Matrices y sistemas lineales

  • Sistemas homogéneos: AX = 0 → soluciones triviales o infinitas
  • Sistemas no homogéneos: AX = B
  • Métodos de resolución:
    • Eliminación de Gauss
    • Inversa de la matriz
    • Regla de Cramer (solo si det(A) ≠ 0)

Eigenvalores y eigenvectores (introducción)

  • Para matriz cuadrada A, vector v y escalar λ:
    • A*v = λ*v
  • λ → eigenvalor, v → eigenvector
  • Aplicaciones:
    • Transformaciones lineales
    • Dinámica de sistemas
    • Compresión de datos (PCA)

Matriz simétrica y diagonalización

  • Matriz simétrica: A = A^T
  • Puede diagonalizarse con matriz ortogonal P:
    • A = P * D * P^T
    • D diagonal con eigenvalores
  • Útil para simplificar cálculos y resolver sistemas

Cursos con imágenes

curso-mates-Funciones básico

Relación entre dos conjuntos numéricos

Tabla de valores

Punto en la tabla cartesiana

Función de primer grado

A partir de la gráfica, calcular qué valor de x corresponde a un valor de y sin conocer la expresión algebraica.

Ejemplo: hallar el punto y que corresponde a x = -3

Función - Dominio y recorrido

Calcular a partir de una gráfica de una función:

  • Empieza en -6 (punto cerrado → pertenece a la gráfica)
  • Termina en 8 (punto abierto → no pertenece)
  • El dominio son los valores de x donde la función existe
    • Función no existe fuera de (-6, 8)
    • Dominio = [-6, 8)
    • Intervalo cerrado en -6, abierto en 8

Recorrido:

  • Valores del eje y
  • Va de -2 (cerrado) a 7 (abierto)
  • Recorrido = [-2, 7)

Función - Punto de corte con los ejes

Puntos donde la gráfica cruza los ejes.

  • Eje X: puede cortar en varios puntos
  • Eje Y: como máximo en uno (no puede tener dos valores de y para el mismo x)

Coordenadas de los cortes:

Signo de la función

  • y > 0: función positiva
  • y = 0: puntos de corte con el eje x
  • y < 0: función negativa

Ejemplo:
Función positiva entre -4 y -3 (vale 0 en -3), negativa hasta 3, luego vuelve a ser positiva.

Solo se consideran intervalos de x, no valores específicos de y.

Simetría gráficamente

  • Función par: simétrica respecto al eje Y
  • Función impar: simétrica respecto a la bisectriz del primer cuadrante
  • Sin simetría: no cumple ninguna de las dos condiciones

Simetría algebraicamente

  • Si f(-x) = f(x) → función par
  • Si f(-x) = -f(x) → función impar

Ejemplos:

  • Cuando un signo negativo está elevado a un exponente par, el resultado es positivo:
    (-x)² = x²

  • Función par: todos los exponentes pares y término independiente.

  • Función impar: todos los exponentes impares.

  • Función sin simetría: combina exponentes pares e impares.

Periodicidad

Una función es periódica cuando se repite con un intervalo constante T en el eje X.

Ejemplo: funciones seno y coseno.

Monotonía (crecimiento y decrecimiento)

  • Si al aumentar x, y también aumenta → creciente
  • Si al aumentar x, y disminuye → decreciente

Los intervalos se expresan como abiertos y se pueden unir con ∪.

Máximos y mínimos (extremos)

  • Máximos relativos: puntos más altos del entorno (picos)

  • Mínimos relativos: puntos más bajos del entorno (valles)

  • Máximos y mínimos absolutos: valores más altos o más bajos en todo el dominio.

Continuidad y discontinuidad

Una función es continua si puede dibujarse sin levantar el lápiz.

Tipos de discontinuidad:

  • Evitable: solo un punto falta.
  • Salto finito: salto entre dos valores próximos.
  • Salto infinito: la función tiende a ±∞ (asíntota vertical).

Producto, suma y resta de matrices

  • Una matriz tiene n filas y m columnas.

  • Para multiplicar matrices, el número de columnas de la primera debe coincidir con el número de filas de la segunda.

  • No siempre se puede multiplicar (B×A ≠ A×B) → no conmutativo.
  • El resultado A×B tiene las filas de A y las columnas de B.

Ejemplo: Producto entre una matriz 3×2 y una 2×3 → resultado 3×3.

Operaciones adicionales

  • Suma y resta: solo entre matrices del mismo tamaño.
  • Transpuesta: se intercambian filas por columnas.
  • Matriz identidad: multiplicar por ella no altera el resultado.
  • Matriz inversa (A⁻¹): solo existe si det(A) ≠ 0.

Extensión: Conceptos avanzados de funciones y matrices

Funciones

Clasificación de funciones

Las funciones pueden clasificarse según la forma de su expresión o su comportamiento gráfico:

  • Polinómicas: combinación lineal de potencias de x con coeficientes reales.
    Ejemplo: f(x) = 2x³ - 4x + 1
  • Racionales: cociente entre dos polinomios.
    Ejemplo: f(x) = (x² + 1) / (x - 3)
  • Irracionales: incluyen raíces con variables.
    Ejemplo: f(x) = √(x + 2)
  • Exponenciales: la variable está en el exponente.
    Ejemplo: f(x) = 3ˣ
  • Logarítmicas: inversas de las exponenciales.
    Ejemplo: f(x) = log₂(x)
  • Trigonométricas: basadas en seno, coseno, tangente, etc.
  • Por tramos: definidas con diferentes expresiones según el intervalo de x.

Transformaciones de funciones

Cualquier función puede desplazarse, reflejarse o escalarse:

  • Desplazamiento vertical: f(x) + k (sube o baja)
  • Desplazamiento horizontal: f(x - a) (se mueve a la derecha o izquierda)
  • Reflexión:
    • En eje X → -f(x)
    • En eje Y → f(-x)
  • Escalado vertical: a·f(x) (estira o comprime)
  • Escalado horizontal: f(bx) (acorta o ensancha)

Estas transformaciones ayudan a deducir gráficas complejas a partir de funciones base.

Composición de funciones

La composición combina dos funciones:
(f ∘ g)(x) = f(g(x))

  • Se evalúa primero g(x) y luego se aplica f al resultado.
  • No siempre es conmutativa: f(g(x)) ≠ g(f(x))
  • Se usa en modelado de procesos donde una salida depende de otra transformación.

Función inversa

La inversa de una función f(x) es otra función f⁻¹(x) tal que: f(f⁻¹(x)) = x

Propiedades:

  • Solo existe si la función es inyectiva (cada y tiene una única x).
  • Gráficamente, es simétrica respecto a la bisectriz y = x.

Ejemplo: f(x) = 2x + 3 → f⁻¹(x) = (x - 3)/2

Límites y continuidad avanzada

  • Un límite describe el comportamiento de una función cerca de un punto.
    Se escribe: lim(x→a) f(x)
  • Si el límite por la derecha y la izquierda existen y son iguales → función continua.
  • Si difieren o no existen → función discontinua.

Tipos de discontinuidades avanzadas:

  • Removible: el límite existe, pero la función no está definida en el punto.
  • De salto: el límite lateral derecho e izquierdo existen pero son distintos.
  • Infinita: el límite tiende a ±∞.
  • Oscilatoria: no existe por variaciones extremas (ejemplo: sin(1/x) en x→0).

Derivadas y comportamiento local

La derivada mide el cambio instantáneo de una función: f’(x) = lim(h→0) (f(x+h) - f(x)) / h

Interpretaciones:

  • Geométrica: pendiente de la recta tangente.
  • Física: velocidad instantánea (si y representa posición).

Aplicaciones:

  • Identificar intervalos de crecimiento/decrecimiento.
  • Determinar puntos críticos (f’(x)=0 → máximos o mínimos).
  • Analizar concavidad y puntos de inflexión (segundas derivadas).

Asintotas

Líneas a las que la función se aproxima sin alcanzarlas.

  • Verticales: x = a (cuando f(x) → ±∞)
  • Horizontales: y = b (cuando lim(x→∞) f(x) = b)
  • Oblicuas: y = mx + n (cuando la función crece linealmente sin límite)

Matrices

Propiedades de las matrices

  • Asociativa: (A·B)·C = A·(B·C)
  • Distributiva: A·(B + C) = A·B + A·C
  • No conmutativa: A·B ≠ B·A
  • Identidad: A·I = I·A = A
  • Nula: A·0 = 0

Determinante de una matriz

El determinante (det(A) o |A|) indica propiedades geométricas y de invertibilidad.

  • Si det(A) = 0 → matriz singular, sin inversa.
  • Si det(A) ≠ 0 → matriz invertible.

Para 2×2: det(A) = ad - bc
Si A = [[a, b], [c, d]]

Para 3×3: Usando la regla de Sarrus: det(A) = aei + bfg + cdh - ceg - bdi - afh

Inversa de una matriz

Solo existe si det(A) ≠ 0.
A⁻¹ = (1 / det(A)) · adj(A)

Propiedad:
A·A⁻¹ = I

Sistemas de ecuaciones lineales

Los sistemas pueden expresarse como una multiplicación matricial: A·X = B

  • Si det(A) ≠ 0 → solución única: X = A⁻¹·B
  • Si det(A) = 0 → puede tener infinitas o ninguna solución.

Método de Cramer: xᵢ = det(Aᵢ) / det(A)

Donde Aᵢ es la matriz A sustituyendo la columna i por B.

Aplicaciones de las matrices

  • Transformaciones lineales: rotación, escalado, traslación en gráficos.
  • Grafos y redes: representación de conexiones (matriz de adyacencia).
  • Programación y algoritmos: manipulación de datos tabulares y cálculos numéricos.
  • Machine learning: operaciones vectoriales en entrenamiento de modelos.
  • Criptografía: codificación mediante matrices invertibles.
  • Simulaciones físicas: representación de sistemas dinámicos.

Extensión práctica

Ejemplo de rotación 2D con matrices:

import numpy as np

# Punto original
p = np.array([2, 3])

# Ángulo de rotación (en radianes)
theta = np.pi / 4  # 45 grados

# Matriz de rotación
R = np.array([[np.cos(theta), -np.sin(theta)],
              [np.sin(theta),  np.cos(theta)]])

# Resultado
p_rotado = R @ p
print(p_rotado)

`

Este ejemplo muestra cómo usar una matriz para rotar un punto en el plano.

Representación matricial en programación

En Python o NumPy:

  • Los vectores y matrices se manejan como arrays multidimensionales.
  • Operaciones como suma, producto o transposición están optimizadas.

Ejemplo:

import numpy as np

A = np.array([[1, 2],
              [3, 4]])
B = np.array([[2, 0],
              [1, 3]])

# Producto matricial
C = np.dot(A, B)
print(C)

Relación entre funciones y matrices

Ambos conceptos se cruzan en análisis y computación:

  • Una función lineal puede representarse como matriz de transformación.
  • En álgebra lineal, la evaluación de funciones sobre matrices (f(A)) permite calcular exponentes de matrices, resolviendo ecuaciones diferenciales.
  • En Machine Learning, las funciones de activación actúan sobre matrices (tensores) de datos.

Nota complementaria sugerida

Podría ampliarse en una futura nota:

  • Derivadas y optimización
  • Álgebra lineal aplicada a la IA
  • Transformaciones de funciones
  • Tipos de discontinuidades y límites especiales
  • Matrices en programación científica

Extensión avanzada: temas complementarios de funciones y matrices

Funciones

Funciones compuestas y operaciones

  • Suma, resta, multiplicación y división de funciones:
    (f ± g)(x) = f(x) ± g(x)
    (f·g)(x) = f(x)·g(x)
    (f / g)(x) = f(x)/g(x), g(x) ≠ 0

  • Funciones inversas en la práctica:
    • Composición con su inversa da la función identidad: f(f⁻¹(x)) = x
    • Verificación rápida mediante sustitución
  • Funciones definidas por partes:
    • Utilizadas para modelar situaciones donde la relación cambia según el intervalo de x
    • Ejemplo: función escalón, función valor absoluto

Comportamiento asintótico avanzado

  • Asintotas horizontales y oblicuas para funciones racionales:
    • Comparar grados del numerador y denominador:
      • Grado numerador < denominador → y = 0
      • Grados iguales → y = coef_num/coef_den
      • Grado numerador = grado denominador + 1 → asintota oblicua

  • Asintotas verticales: puntos donde el denominador se anula

  • Límites al infinito para funciones exponenciales y logarítmicas:
    • eˣ crece más rápido que cualquier polinomio
    • log(x) crece lentamente y no tiene límite superior

Funciones especiales

  • Valor absoluto: f(x) = x , simétrica y definida por tramos
  • Funciones escalón: saltos discretos, utilizadas en sistemas digitales
  • Funciones periódicas no trigonométricas: patrones repetitivos en señalización y física
  • Funciones implícitas: relaciones F(x, y) = 0 donde y no está despejada
  • Funciones paramétricas: describen curvas mediante parámetro t: (x(t), y(t))

Optimización y análisis de funciones

  • Puntos críticos: donde f’(x) = 0 o f’(x) no existe
  • Concavidad:
    • f’‘(x) > 0 → función cóncava hacia arriba
    • f’‘(x) < 0 → función cóncava hacia abajo
  • Puntos de inflexión: cambio de concavidad, f’‘(x) = 0 y cambio de signo
  • Aplicaciones: economía (max/min de ganancias), física (trayectorias), ingeniería (resistencia de materiales)

Matrices

Tipos especiales de matrices

  • Diagonal: solo elementos no nulos en la diagonal principal
  • Identidad (I): diagonal con 1, resto 0
  • Nula (0): todos los elementos 0
  • Triangular: superior o inferior, útil para resolución de sistemas
  • Simétrica: A = Aᵀ, propiedades en autovalores y descomposición
  • Ortogonal: Aᵀ·A = I, preserva normas y ángulos
  • Sparsa: muchas entradas cero, optimización en cómputo

Operaciones avanzadas

  • Autovalores y autovectores:
    • Para A·v = λ·v, λ es autovalor, v es autovector
    • Usados en dinámica de sistemas, estabilidad y PCA
  • Descomposición de matrices:
    • LU: factoriza en triangular inferior y superior
    • QR: factorización ortogonal, útil en mínimos cuadrados
    • Eigen: descomposición en autovalores y autovectores
  • Rango de la matriz: número máximo de filas/columnas linealmente independientes
  • Traza (trace): suma de elementos de la diagonal, útil en propiedades de autovalores

Sistemas lineales avanzados

  • Compatibilidad:
    • Sistema compatible determinado → única solución
    • Sistema compatible indeterminado → infinitas soluciones
    • Sistema incompatible → sin solución
  • Métodos de resolución:
    • Sustitución y eliminación (manual)
    • Cramer (determinantes)
    • Inversa de matriz
    • Factorización LU
    • Métodos iterativos (Gauss-Seidel, Jacobi)

Aplicaciones prácticas de matrices

  • Gráficas y grafos: matrices de adyacencia y de incidencia
  • Transformaciones geométricas: rotación, traslación, escala y reflexión
  • Modelado físico: sistemas de ecuaciones en circuitos, fuerzas y movimiento
  • Machine Learning: tensores, propagación hacia adelante, backpropagation
  • Criptografía: cifrado de datos mediante matrices invertibles
  • Simulación de Markov: cadenas de estados con matrices estocásticas

Representación en programación avanzada

  • Uso de librerías para operaciones eficientes: NumPy, SciPy, TensorFlow, PyTorch
  • Multiplicación matricial optimizada: evita bucles explícitos y mejora rendimiento
  • Broadcasting: operaciones entre matrices de diferente tamaño compatibles
  • Funciones vectorizadas: aplicar funciones a todos los elementos simultáneamente

Ejemplo: multiplicación vectorizada en NumPy

import numpy as np

A = np.array([[1, 2], [3, 4]])
B = np.array([[5, 6], [7, 8]])

# Multiplicación elemento a elemento
C = A * B

# Producto matricial
D = A @ B

`

Conexión funciones y matrices en aplicaciones

  • Transformaciones lineales: cualquier función lineal f(x) = Ax puede representarse como multiplicación matricial
  • Sistemas dinámicos: xₖ₊₁ = A·xₖ → evolución de estados
  • Redes neuronales: matrices representan pesos, funciones aplican activación no lineal
  • Procesamiento de señales e imágenes: convoluciones y filtrado mediante matrices

Temas sugeridos para futuras notas

  • Funciones vectoriales y multivariables
  • Optimización multivariable y derivadas parciales
  • Matrices en análisis numérico y simulaciones físicas
  • Transformaciones lineales en geometría y gráficos por computadora
  • Cadenas de Markov y matrices estocásticas