Curso de Álgebra Lineal universidad madrid

Objetivos: Conocimientos y Capacidades

El curso tiene como finalidad desarrollar tanto conocimientos teóricos como habilidades prácticas en álgebra lineal. Los objetivos específicos son:

Conocimientos Teóricos

  • Conocer y comprender el concepto de espacio vectorial y sus aplicaciones.
  • Entender las transformaciones lineales, sus propiedades y su representación mediante matrices.
  • Comprender el concepto de valores y vectores propios de una transformación lineal, saber cómo calcularlos y conocer sus aplicaciones.
  • Conocer y aplicar el concepto de espacio vectorial con producto escalar, incluyendo aplicaciones como mínimos cuadrados y valores singulares.
  • Incrementar el grado de abstracción en la comprensión y análisis de problemas matemáticos.

Habilidades Prácticas

  • Resolver problemas prácticos usando técnicas propias del álgebra lineal.
  • Comunicarse de manera clara, oral y escrita, utilizando correctamente los signos y el lenguaje matemático.
  • Modelizar situaciones reales descritas en palabras mediante conceptos matemáticos.
  • Interpretar la solución matemática de un problema, evaluando su fiabilidad y limitaciones.

Programa del Curso

  1. Matrices
  2. Sistemas de ecuaciones lineales
  3. Espacios vectoriales
  4. Base y dimensión
  5. Transformaciones lineales
  6. Transformaciones lineales y matrices
  7. Forma normal de una transformación
  8. Valores y vectores propios
  9. Producto interno y ortogonalidad en espacios vectoriales sobre ℝ
  10. Bases ortogonales
  11. El teorema espectral en ℝ
  12. Geometría de las transformaciones lineales en ℝ
  13. Mínimos cuadrados
  14. Pseudoinversa y descomposición en valores singulares

Matrices

Una matriz es una disposición rectangular de números, símbolos o expresiones organizada en filas y columnas. Se utiliza para representar sistemas de ecuaciones, transformaciones lineales, datos y operaciones algebraicas en el álgebra lineal y el cálculo numérico.

Notació

n y definición

Una matriz de tamaño $m \times n$ (m filas y n columnas) se representa como:

\[A = \begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & \dots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \dots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{m1} & a_{m2} & \dots & a_{mn} \end{bmatrix}\]

Donde:

  • $a_{ij}$ es el elemento en la fila $i$ y columna $j$.
  • El orden de la matriz es $m \times n$.

Tipos de matrices

  • Matriz fila: tiene una sola fila.
    $1 \times n$

  • Matriz columna: tiene una sola columna.
    $m \times 1$

  • Matriz cuadrada: tiene igual número de filas y columnas.
    $n \times n$

  • Matriz diagonal: matriz cuadrada con elementos distintos de cero solo en la diagonal principal.

  • Matriz identidad $I_n$: diagonal con todos los elementos de la diagonal principal iguales a 1.

  • Matriz nula: todos sus elementos son cero.

  • Matriz simétrica: $A = A^T$.

  • Matriz antisimétrica o skew-simétrica: $A = -A^T$.

  • Matriz triangular superior: todos los elementos debajo de la diagonal son cero.

  • Matriz triangular inferior: todos los elementos encima de la diagonal son cero.

  • Matriz ortogonal: $A^T A = I$.

  • Matriz hermítica (en números complejos): $A = \overline{A}^T$.

  • Matriz unitaria: $A^* A = I$, donde $A^*$ es el conjugado transpuesto.

Operaciones con matrices

  1. Suma y resta

    Dos matrices $A$ y $B$ del mismo orden se pueden sumar o restar elemento a elemento:

    \[(A + B)_{ij} = a_{ij} + b_{ij}\]

    Requiere que ambas tengan el mismo tamaño.

  2. Multiplicación por un escalar

    Cada elemento de la matriz se multiplica por el escalar $k$:

    \[(kA)_{ij} = k \cdot a_{ij}\]

  3. Multiplicación de matrices

    La multiplicación $A_{m \times n} B_{n \times p}$ está definida si el número de columnas de $A$ coincide con el número de filas de $B$.
    El resultado es una matriz $C_{m \times p}$ con:

    \[c_{ij} = \sum_{k=1}^{n} a_{ik} b_{kj}\]

    Esta operación no es conmutativa en general: $AB \neq BA$.

  4. Transposición

    La matriz transpuesta $A^T$ se obtiene intercambiando filas por columnas:

    \[(A^T)_{ij} = a_{ji}\]

  5. Inversa

    Si $A$ es cuadrada y no singular (determinante distinto de cero), existe una matriz $A^{-1}$ tal que:

    \[A A^{-1} = A^{-1} A = I\]

  6. Determinante

    El determinante de una matriz cuadrada $A$ se denota como $|A|$ o $\det(A)$.
    Es un valor escalar que indica si la matriz es invertible y la escala de la transformación lineal asociada.

  7. Traza

    La traza de una matriz cuadrada es la suma de los elementos de su diagonal principal:

    \[\operatorname{tr}(A) = \sum_{i=1}^{n} a_{ii}\]

Propiedades importantes

  • $(A + B)^T = A^T + B^T$
  • $(AB)^T = B^T A^T$
  • $(A^{-1})^T = (A^T)^{-1}$
  • $\det(AB) = \det(A)\det(B)$
  • $\det(A^T) = \det(A)$
  • $\operatorname{tr}(AB) = \operatorname{tr}(BA)$

Representación matricial de sistemas lineales

Un sistema lineal puede expresarse como:

\[A\mathbf{x} = \mathbf{b}\]

Donde:

  • $A$: matriz de coeficientes.
  • $\mathbf{x}$: vector de incógnitas.
  • $\mathbf{b}$: vector de términos independientes.

Transformaciones lineales y matrices

Cada matriz representa una transformación lineal entre espacios vectoriales.
Por ejemplo, si $T: \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^m$ es una transformación lineal, existe una matriz $A$ tal que:

\[T(\mathbf{x}) = A\mathbf{x}\]

La matriz $A$ depende de la base elegida en los espacios de partida y llegada.

Descomposición matricial

Existen varias formas de descomponer matrices en factores que simplifican el análisis y el cálculo numérico:

  • LU: $A = LU$
  • QR: $A = QR$
  • SVD (Singular Value Decomposition): $A = U \Sigma V^T$
  • Cholesky: $A = LL^T$ (si $A$ es simétrica y definida positiva)

Aplicaciones de las matrices

  • Resolver sistemas de ecuaciones lineales.
  • Modelar transformaciones geométricas.
  • Representar grafos y redes.
  • Procesamiento de señales e imágenes.
  • Métodos numéricos para optimización y simulación.

Sistemas de ecuaciones lineales

Un sistema de ecuaciones lineales (SEL) es un conjunto de ecuaciones en las que las incógnitas aparecen solo con exponente uno y no se multiplican entre sí.
Se representa generalmente de la forma:

\[\begin{cases} a_{11}x_1 + a_{12}x_2 + \dots + a_{1n}x_n = b_1 \\ a_{21}x_1 + a_{22}x_2 + \dots + a_{2n}x_n = b_2 \\ \vdots \\ a_{m1}x_1 + a_{m2}x_2 + \dots + a_{mn}x_n = b_m \end{cases}\]

donde:

  • $a_{ij}$ son los coeficientes del sistema.
  • $x_j$ son las incógnitas.
  • $b_i$ son los términos independientes.

Representación matricial

Un sistema puede escribirse de forma compacta como:

\[A\mathbf{x} = \mathbf{b}\]

donde:

  • $A \in \mathbb{R}^{m \times n}$ es la matriz de coeficientes.
  • $\mathbf{x} = [x_1, x_2, \dots, x_n]^T$ es el vector de incógnitas.
  • $\mathbf{b} = [b_1, b_2, \dots, b_m]^T$ es el vector de resultados.

Tipos de sistemas

  • Sistema compatible: tiene al menos una solución.
    • Compatible determinado: una única solución.
    • Compatible indeterminado: infinitas soluciones.
  • Sistema incompatible: no tiene solución.
El análisis de la existencia y unicidad de solución depende del rango de la matriz $A$ y del rango de la matriz ampliada $[A \mathbf{b}]$.

Condiciones de existencia y unicidad (Teorema de Rouché-Frobenius)

Sea $A$ la matriz de coeficientes y $[A | \mathbf{b}]$ la matriz ampliada, entonces:

  • El sistema es compatible si y solo si: \(\operatorname{rango}(A) = \operatorname{rango}([A | \mathbf{b}])\)

  • Es determinado si además:

    \(\operatorname{rango}(A) = n\) donde $n$ es el número de incógnitas.

Métodos de resolución

1. Método de eliminación de Gauss

Consiste en transformar el sistema original en uno equivalente escalonado superior mediante operaciones elementales sobre las filas.
Se obtienen los valores de las incógnitas mediante sustitución regresiva.

2. Método de Gauss-Jordan

Extiende el método de Gauss hasta obtener una matriz identidad en los coeficientes, dejando las soluciones directamente en la matriz ampliada.

3. Método de Cramer

Aplica solo a sistemas cuadrados ($n \times n$) con determinante distinto de cero.
Cada incógnita se obtiene mediante:

\[x_i = \frac{\det(A_i)}{\det(A)}\]

donde $A_i$ es la matriz $A$ con su columna $i$ reemplazada por el vector $\mathbf{b}$.

4. Método de la matriz inversa

Si $A$ es cuadrada e invertible:

\[A\mathbf{x} = \mathbf{b} \implies \mathbf{x} = A^{-1}\mathbf{b}\]

Requiere el cálculo de la matriz inversa, lo cual puede ser costoso para grandes dimensiones.

5. Métodos iterativos

Usados en sistemas grandes o dispersos, donde los métodos directos son ineficientes:

  • Método de Jacobi
  • Método de Gauss-Seidel
  • Método del gradiente conjugado

Estos métodos parten de una estimación inicial y mejoran la solución en cada iteración.

Interpretación geométrica

Un sistema de ecuaciones lineales representa la intersección de hiperplanos en un espacio n-dimensional.

  • Si las rectas o planos se cruzan en un único punto → solución única.
  • Si coinciden parcialmente → infinitas soluciones.
  • Si son paralelos → sin solución.

Clasificación según el número de ecuaciones e incógnitas

  • Sistema sobredeterminado: más ecuaciones que incógnitas ($m > n$).
    Suele no tener solución exacta; se aproxima mediante mínimos cuadrados:

    \[\min_{\mathbf{x}} \|A\mathbf{x} - \mathbf{b}\|_2^2\]

  • Sistema cuadrado: mismo número de ecuaciones e incógnitas ($m = n$).
    Puede tener solución única si $\det(A) \neq 0$.

  • Sistema subdeterminado: menos ecuaciones que incógnitas ($m < n$).
    Tiene infinitas soluciones; se elige la de mínima norma usando la pseudoinversa:

    \[\mathbf{x} = A^+ \mathbf{b}\]

donde la pseudoinversa $A^+$ se calcula mediante la descomposición SVD:

\[A^+ = V \Sigma^+ U^T\]

Propiedades relevantes

  • Si $A$ es simétrica y definida positiva, los métodos iterativos convergen más rápido.
  • En sistemas grandes, es preferible factorizar $A$ (LU, Cholesky, QR) antes que invertirla directamente.

  • El número de condición $\kappa(A)$ mide la sensibilidad de la solución a errores numéricos:

    \[\kappa(A) = \|A\| \cdot \|A^{-1}\|\]

    Un número de condición alto implica inestabilidad numérica.

Resolución numérica de sistemas lineales

En Cálculo numérico, los sistemas lineales son el núcleo de muchos algoritmos.
Se estudian aspectos como:

  • Estabilidad numérica
  • Error de redondeo
  • Métodos iterativos vs. directos
  • Matrices dispersas y optimización de memoria

Aplicaciones

  • Modelado físico y simulaciones.
  • Ajuste de curvas por mínimos cuadrados.
  • Cálculo de corrientes en circuitos eléctricos.
  • Equilibrio químico y reacciones.
  • Resolución de problemas en métodos numéricos para ingeniería.

Espacios vectoriales

Un espacio vectorial (o espacio lineal) es una estructura algebraica formada por un conjunto de vectores que pueden sumarse y multiplicarse por escalares, cumpliendo ciertas propiedades o axiomas.
Los escalares pertenecen a un cuerpo $\mathbb{K}$ (usualmente $\mathbb{R}$ o $\mathbb{C}$).

Definición formal

Un conjunto $V$ es un espacio vectorial sobre $\mathbb{K}$ si cumple:

  1. Existe una operación de suma vectorial:
    $+ : V \times V \to V$, tal que para todo $\mathbf{u}, \mathbf{v} \in V$, se tiene $\mathbf{u} + \mathbf{v} \in V$.
  2. Existe una operación de multiplicación escalar:
    $\cdot : \mathbb{K} \times V \to V$, tal que para todo $a \in \mathbb{K}$ y $\mathbf{v} \in V$, se tiene $a\mathbf{v} \in V$.

Axiomas de espacio vectorial

Para todo $\mathbf{u}, \mathbf{v}, \mathbf{w} \in V$ y $a, b \in \mathbb{K}$:

  1. Asociatividad de la suma:
    $(\mathbf{u} + \mathbf{v}) + \mathbf{w} = \mathbf{u} + (\mathbf{v} + \mathbf{w})$
  2. Conmutatividad de la suma:
    $\mathbf{u} + \mathbf{v} = \mathbf{v} + \mathbf{u}$
  3. Elemento neutro aditivo:
    Existe un vector $\mathbf{0} \in V$ tal que $\mathbf{v} + \mathbf{0} = \mathbf{v}$
  4. Elemento opuesto:
    Para cada $\mathbf{v} \in V$, existe $-\mathbf{v}$ tal que $\mathbf{v} + (-\mathbf{v}) = \mathbf{0}$
  5. Compatibilidad del producto escalar:
    $a(b\mathbf{v}) = (ab)\mathbf{v}$
  6. Elemento neutro escalar:
    $1\mathbf{v} = \mathbf{v}$
  7. Distributividad del escalar respecto a la suma de vectores:
    $a(\mathbf{u} + \mathbf{v}) = a\mathbf{u} + a\mathbf{v}$
  8. Distributividad del escalar respecto a la suma de escalares:
    $(a + b)\mathbf{v} = a\mathbf{v} + b\mathbf{v}$

Ejemplos de espacios vectoriales

  • $\mathbb{R}^n$: todos los vectores reales de $n$ componentes.
  • $\mathbb{C}^n$: vectores con componentes complejas.
  • $\mathbb{R}^{m \times n}$: matrices reales de tamaño $m \times n$.
  • Conjunto de polinomios de grado ≤ $n$: $P_n(\mathbb{R})$.
  • Conjunto de funciones reales continuas: $C[a,b]$.

Subespacios vectoriales

Un subespacio $W \subseteq V$ es un subconjunto que también es un espacio vectorial bajo las mismas operaciones de $V$.
Cumple:

  1. $\mathbf{0} \in W$
  2. Si $\mathbf{u}, \mathbf{v} \in W$, entonces $\mathbf{u} + \mathbf{v} \in W$
  3. Si $\mathbf{v} \in W$ y $a \in \mathbb{K}$, entonces $a\mathbf{v} \in W$

Ejemplo: el conjunto de todos los vectores de la forma $(x, 2x)$ en $\mathbb{R}^2$ es un subespacio de $\mathbb{R}^2$.

Combinación lineal, independencia y base

  • Combinación lineal:
    Dado un conjunto de vectores ${\mathbf{v}_1, \dots, \mathbf{v}_n}$, una combinación lineal es toda expresión del tipo: \(\mathbf{u} = a_1\mathbf{v}_1 + a_2\mathbf{v}_2 + \dots + a_n\mathbf{v}_n\) con $a_i \in \mathbb{K}$.

  • Independencia lineal:
    Los vectores son linealmente independientes si la ecuación: \(a_1\mathbf{v}_1 + a_2\mathbf{v}_2 + \dots + a_n\mathbf{v}_n = \mathbf{0}\) solo se cumple cuando $a_1 = a_2 = \dots = a_n = 0$.

  • Base:
    Un conjunto de vectores $\mathcal{B} = {\mathbf{v}_1, \dots, \mathbf{v}_n}$ es una base de $V$ si:
    1. Son linealmente independientes.
    2. Generan todo el espacio $V$.
  • Dimensión:
    El número de vectores de una base se llama dimensión del espacio, denotado $\dim(V)$.

Cambio de base

Dadas dos bases $\mathcal{B}$ y $\mathcal{B}’$ de $V$, el cambio de coordenadas entre ambas se realiza mediante una matriz de cambio de base $P$:

\[[\mathbf{v}]_{\mathcal{B}'} = P^{-1}[\mathbf{v}]_{\mathcal{B&#125;&#125;\]

Espacio generado y rango

  • El espacio generado por un conjunto de vectores $S = {\mathbf{v}_1, \dots, \mathbf{v}_k}$ es el conjunto de todas sus combinaciones lineales:

    \[\operatorname{span}(S) = \{a_1\mathbf{v}_1 + \dots + a_k\mathbf{v}_k \,|\, a_i \in \mathbb{K}\}\]

  • El rango de una matriz es la dimensión del espacio generado por sus columnas (o filas).
    Es fundamental en el análisis de sistemas de ecuaciones lineales.

Espacio nulo y espacio columna

Sea $A \in \mathbb{R}^{m \times n}$:

  • Espacio columna (col(A)):
    Conjunto de todas las combinaciones lineales de las columnas de $A$.

  • Espacio nulo (null(A)):
    Conjunto de soluciones de $A\mathbf{x} = \mathbf{0}$.

    \[\operatorname{null}(A) = \{\mathbf{x} \in \mathbb{R}^n \,|\, A\mathbf{x} = \mathbf{0}\}\]

El teorema fundamental de la álgebra lineal establece que:

\[\dim(\operatorname{col}(A)) + \dim(\operatorname{null}(A)) = n\]

Espacios producto y suma directa

  • Suma de subespacios:
    Si $W_1, W_2 \subseteq V$, \(W_1 + W_2 = \{\mathbf{w}_1 + \mathbf{w}_2 \,|\, \mathbf{w}_1 \in W_1, \mathbf{w}_2 \in W_2\}\)

  • Suma directa:
    Si $W_1 \cap W_2 = {\mathbf{0}}$, entonces: \(V = W_1 \oplus W_2\)

Transformaciones lineales y espacios vectoriales

Una transformación lineal $T: V \to W$ es una aplicación entre espacios vectoriales que preserva la suma y la multiplicación escalar:

\[T(a\mathbf{u} + b\mathbf{v}) = aT(\mathbf{u}) + bT(\mathbf{v})\]

Su imagen es un subespacio de $W$ y su núcleo un subespacio de $V$.
La relación entre ambos está dada por el teorema del rango y la nulidad:

\[\dim(\operatorname{Im}(T)) + \dim(\ker(T)) = \dim(V)\]

Aplicaciones

  • Representación de datos y señales como vectores.
  • Análisis de transformaciones lineales y rotaciones.
  • Compresión de información (PCA, SVD).
  • Cálculo de soluciones en sistemas de ecuaciones lineales.
  • Modelado geométrico y proyecciones en espacios multidimensionales.

Base y dimensión

Los conceptos de base y dimensión son fundamentales en el estudio de los espacios vectoriales, ya que describen su estructura y la forma de representar cualquier vector del espacio.

Base

Una base de un espacio vectorial $V$ sobre un cuerpo $\mathbb{K}$ es un conjunto ordenado de vectores
$\mathcal{B} = {\mathbf{v}_1, \mathbf{v}_2, \dots, \mathbf{v}_n}$ que cumple dos condiciones:

  1. Genera el espacio:
    Todo vector $\mathbf{v} \in V$ puede expresarse como una combinación lineal de los vectores de la base: \(\mathbf{v} = a_1\mathbf{v}_1 + a_2\mathbf{v}_2 + \dots + a_n\mathbf{v}_n, \quad a_i \in \mathbb{K}\)

  2. Independencia lineal:
    Los vectores de la base son linealmente independientes: \(a_1\mathbf{v}_1 + a_2\mathbf{v}_2 + \dots + a_n\mathbf{v}_n = \mathbf{0} \implies a_1 = a_2 = \dots = a_n = 0\)

Cuando estas condiciones se cumplen, cada vector del espacio tiene una representación única en términos de los vectores de la base.

Ejemplos

  • En $\mathbb{R}^2$, la base canónica es: \(\mathcal{B} = \{(1,0), (0,1)\}\) Cualquier vector $(x,y)$ puede escribirse como: \((x,y) = x(1,0) + y(0,1)\)

  • En $\mathbb{R}^3$, la base canónica es: \(\mathcal{B} = \{(1,0,0), (0,1,0), (0,0,1)\}\)

  • En el espacio de polinomios de grado ≤ 2: \(P_2 = \{a_0 + a_1x + a_2x^2 \,|\, a_i \in \mathbb{R}\}\) una base natural es: \(\mathcal{B} = \{1, x, x^2\}\)

Cambio de base

Dadas dos bases $\mathcal{B} = {\mathbf{v}_1, \dots, \mathbf{v}_n}$ y $\mathcal{B}’ = {\mathbf{v}_1’, \dots, \mathbf{v}_n’}$ del mismo espacio $V$, existe una matriz de cambio de base $P$ tal que:

\[[\mathbf{v}]_{\mathcal{B}'} = P^{-1} [\mathbf{v}]_{\mathcal{B&#125;&#125;\]

y recíprocamente:

\[[\mathbf{v}]_{\mathcal{B&#125;&#125; = P [\mathbf{v}]_{\mathcal{B}'}\]

donde las columnas de $P$ son las coordenadas de los vectores de $\mathcal{B}’$ expresados en la base $\mathcal{B}$.

El cambio de base permite expresar una transformación lineal o un vector en distintos sistemas de referencia dentro del mismo espacio vectorial.

Dimensión

La dimensión de un espacio vectorial $V$, denotada $\dim(V)$, es el número de vectores de una base de $V$.
Equivale al número mínimo de vectores necesarios para generar todo el espacio.

Ejemplos

  • $\dim(\mathbb{R}^n) = n$
  • $\dim(P_m) = m + 1$
  • Si $A \in \mathbb{R}^{m \times n}$, entonces:
    • $\dim(\operatorname{col}(A)) = \operatorname{rango}(A)$
    • $\dim(\operatorname{null}(A)) = n - \operatorname{rango}(A)$

Relación entre base y dimensión

  • Todos los conjuntos base de un mismo espacio tienen el mismo número de elementos, es decir, la dimensión es única.
  • Si un conjunto de vectores independientes tiene tantos elementos como la dimensión del espacio, es una base.
  • Si un conjunto de vectores genera el espacio y tiene el mismo número de vectores que la dimensión, también es una base.

Cálculo de la dimensión mediante matrices

Sea un conjunto de vectores $S = {\mathbf{v}_1, \mathbf{v}_2, \dots, \mathbf{v}_k}$ en $\mathbb{R}^n$.
Se puede formar una matriz $A = [\mathbf{v}_1 \, \mathbf{v}_2 \, \dots \, \mathbf{v}_k]$.
Entonces:

\[\dim(\operatorname{span}(S)) = \operatorname{rango}(A)\]

El rango se obtiene reduciendo $A$ a su forma escalonada mediante el método de Gauss.

Subespacios y dimensión

Si $W \subseteq V$ es un subespacio de un espacio vectorial de dimensión $n$, entonces:

\[0 \leq \dim(W) \leq n\]

Además, para dos subespacios $W_1, W_2 \subseteq V$:

\[\dim(W_1 + W_2) = \dim(W_1) + \dim(W_2) - \dim(W_1 \cap W_2)\]

Espacio nulo, rango y teorema del rango-nulidad

Para una transformación lineal $T: V \to W$ con matriz asociada $A$:

  • Espacio nulo (ker(T)): conjunto de vectores que se envían al vector nulo.
  • Espacio imagen (Im(T)): conjunto de vectores alcanzables mediante $T$.

El teorema del rango y la nulidad establece:

\[\dim(\ker(T)) + \dim(\operatorname{Im}(T)) = \dim(V)\]

o equivalentemente para una matriz $A \in \mathbb{R}^{m \times n}$:

\[\operatorname{rango}(A) + \dim(\operatorname{null}(A)) = n\]

Aplicaciones

  • Determinar el número de grados de libertad en un sistema físico o algebraico.
  • Representación de datos en espacios reducidos (análisis de componentes principales).
  • Cálculo del rango de una matriz y de soluciones de sistemas de ecuaciones lineales.
  • Diseño de algoritmos de compresión y reconstrucción de información.
  • Estudio de transformaciones lineales y sus invariantes.

Transformaciones lineales

Una transformación lineal (o aplicación lineal) es una función entre dos espacios vectoriales que preserva las operaciones de suma y multiplicación escalar.
Constituyen el núcleo del álgebra lineal y del Cálculo numérico, ya que describen cómo los vectores y las estructuras lineales se transforman bajo cambios o proyecciones.

Definición formal

Sea $T: V \to W$ una aplicación entre dos espacios vectoriales sobre el mismo cuerpo $\mathbb{K}$.
Decimos que $T$ es lineal si para todo $\mathbf{u}, \mathbf{v} \in V$ y $a, b \in \mathbb{K}$:

\[T(a\mathbf{u} + b\mathbf{v}) = aT(\mathbf{u}) + bT(\mathbf{v})\]

Esto implica que $T$ conserva:

  • La suma vectorial
  • La multiplicación por escalar

Ejemplos de transformaciones lineales

  1. Identidad:
    $T(\mathbf{v}) = \mathbf{v}$
  2. Cero:
    $T(\mathbf{v}) = \mathbf{0}$
  3. Proyección sobre un eje:
    $T(x,y) = (x,0)$
  4. Rotación en el plano:
    \(T(x,y) = \begin{bmatrix} \cos\theta & -\sin\theta \\ \sin\theta & \cos\theta \end{bmatrix} \begin{bmatrix}x \\ y\end{bmatrix}\)
  5. Derivación:
    En el espacio de funciones $P_n$, $T(f) = f’$
  6. Multiplicación matricial:
    $T(\mathbf{x}) = A\mathbf{x}$, donde $A$ es una matriz.

Matriz asociada a una transformación lineal

Toda transformación lineal $T: V \to W$ puede representarse mediante una matriz $A$ si se eligen bases $\mathcal{B}_V$ y $\mathcal{B}_W$ para ambos espacios:

\[[T]_{\mathcal{B}_W, \mathcal{B}_V} = A\]

tal que:

\[[T(\mathbf{v})]_{\mathcal{B}_W} = A [\mathbf{v}]_{\mathcal{B}_V}\]

En el caso particular $V = W = \mathbb{R}^n$ con las bases canónicas, $T(\mathbf{x}) = A\mathbf{x}$.

Composición de transformaciones

Si $T_1: V \to W$ y $T_2: W \to U$ son transformaciones lineales, su composición $T_2 \circ T_1: V \to U$ también es lineal, y su matriz asociada es:

\[[T_2 \circ T_1] = [T_2] [T_1]\]

Núcleo e imagen

  • Núcleo (o espacio nulo) de $T$: \(\ker(T) = \{\mathbf{v} \in V \,|\, T(\mathbf{v}) = \mathbf{0}\}\)

  • Imagen (o rango) de $T$: \(\operatorname{Im}(T) = \{T(\mathbf{v}) \,|\, \mathbf{v} \in V\}\)

Ambos son subespacios vectoriales de $V$ y $W$, respectivamente.

Teorema del rango y la nulidad

Sea $T: V \to W$ una transformación lineal, entonces:

\[\dim(\ker(T)) + \dim(\operatorname{Im}(T)) = \dim(V)\]

Este resultado permite calcular la dimensión del espacio imagen o rango a partir de la dimensión del núcleo y viceversa.

Inyectividad, sobreyectividad y biyectividad

  • Inyectiva:
    $T(\mathbf{u}) = T(\mathbf{v}) \implies \mathbf{u} = \mathbf{v}$
    ⇔ $\ker(T) = {\mathbf{0}}$

  • Sobreyectiva:
    La imagen de $T$ es todo $W$:
    $\operatorname{Im}(T) = W$

  • Biyectiva:
    Es inyectiva y sobreyectiva a la vez.
    En este caso, $T$ tiene inversa lineal $T^{-1}: W \to V$, con: \(T^{-1}(T(\mathbf{v})) = \mathbf{v}\)

Operaciones con transformaciones lineales

  • Suma:
    $(T_1 + T_2)(\mathbf{v}) = T_1(\mathbf{v}) + T_2(\mathbf{v})$
  • Multiplicación escalar:
    $(aT)(\mathbf{v}) = a \, T(\mathbf{v})$
  • Composición:
    $(T_2 \circ T_1)(\mathbf{v}) = T_2(T_1(\mathbf{v}))$

Estas operaciones convierten el conjunto de todas las transformaciones lineales de $V$ en sí mismo, $\operatorname{End}(V)$, en un espacio vectorial.

Propiedades matriciales importantes

Si $T(\mathbf{x}) = A\mathbf{x}$ con $A \in \mathbb{R}^{m \times n}$:

  • $\operatorname{Im}(T) = \operatorname{col}(A)$
  • $\ker(T) = \operatorname{null}(A)$
  • $\operatorname{rango}(T) = \operatorname{rango}(A)$
  • $\dim(\ker(T)) + \operatorname{rango}(A) = n$

Transformaciones lineales en geometría

En el plano o el espacio, las transformaciones lineales modelan operaciones geométricas:

  • Escalado: cambia la magnitud (tamaño).
  • Rotación: cambia la dirección.
  • Reflexión: invierte la orientación.
  • Proyección: reduce la dimensión (por ejemplo, proyectar sobre un eje).
  • Cizalla (shear): deforma un objeto manteniendo áreas o volúmenes.

Ejemplo de rotación en $\mathbb{R}^2$:

\[A = \begin{bmatrix} \cos\theta & -\sin\theta \\ \sin\theta & \cos\theta \end{bmatrix}\]

Ejemplo de proyección sobre el eje $x$:

\[A = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{bmatrix}\]

Transformaciones lineales y matrices

Cada matriz $A \in \mathbb{R}^{m \times n}$ define una transformación lineal $T_A: \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^m$ dada por:

\[T_A(\mathbf{x}) = A\mathbf{x}\]

Por tanto, el estudio de las transformaciones lineales y las matrices es equivalente:

  • El rango de $T_A$ coincide con el rango de $A$.
  • La composición de transformaciones se traduce en la multiplicación de matrices.
  • El cambio de base en $V$ o $W$ se traduce en una transformación de semejanza sobre $A$.

Diagonalización y autovalores

Una transformación lineal $T: V \to V$ es diagonalizable si existe una base de vectores propios ${\mathbf{v}_1, \dots, \mathbf{v}_n}$ tal que su matriz asociada es diagonal:

\[[T]_{\mathcal{B&#125;&#125; = \begin{bmatrix} \lambda_1 & 0 & \dots & 0 \\ 0 & \lambda_2 & \dots & 0 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & \dots & \lambda_n \end{bmatrix}\]

donde $\lambda_i$ son los autovalores (o valores propios) y los vectores correspondientes son los autovectores.

Esto permite interpretar $T$ como un escalado independiente en cada dirección propia.

Aplicaciones

  • Representación y análisis de transformaciones geométricas.
  • Modelado de sistemas de ecuaciones lineales y Cálculo numérico.
  • Cálculo de autovalores y autovectores para estudiar estabilidad o modos propios.
  • Procesamiento de señales e imágenes (rotación, proyección, compresión).
  • Reducción de dimensionalidad (SVD, PCA).
  • Análisis de sistemas dinámicos lineales.

Transformaciones lineales y matrices

Las transformaciones lineales y las matrices están íntimamente relacionadas.
Toda transformación lineal entre espacios vectoriales de dimensión finita puede representarse mediante una matriz, y toda matriz define una transformación lineal.
Esta relación permite traducir problemas algebraicos en problemas matriciales y viceversa, lo cual es fundamental en el Cálculo numérico y el álgebra lineal computacional.

Correspondencia entre transformaciones y matrices

Sea $T: \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^m$ una transformación lineal.
Por definición, se cumple:

\[T(a\mathbf{u} + b\mathbf{v}) = aT(\mathbf{u}) + bT(\mathbf{v})\]

Dado que $T$ está completamente determinado por su acción sobre una base canónica de $\mathbb{R}^n$:

\[T(\mathbf{e}_i) = \mathbf{a}_i \quad \text{para } i = 1, 2, \dots, n\]

podemos construir una matriz asociada $A \in \mathbb{R}^{m \times n}$ cuyas columnas son las imágenes de los vectores base:

\[A = \begin{bmatrix} | & | & & | \\ T(\mathbf{e}_1) & T(\mathbf{e}_2) & \cdots & T(\mathbf{e}_n) \\ | & | & & | \end{bmatrix}\]

De este modo, para cualquier vector $\mathbf{x} \in \mathbb{R}^n$:

\[T(\mathbf{x}) = A\mathbf{x}\]

Interpretación geométrica

Cada matriz $A$ define una transformación lineal que:

  • Escala, rota, refleja, proyecta o cizalla el espacio vectorial.
  • Modifica la longitud, orientación o dimensión efectiva de los vectores.

Ejemplos:

  1. Rotación en el plano: \(A = \begin{bmatrix} \cos\theta & -\sin\theta \\ \sin\theta & \cos\theta \end{bmatrix}\) $T(\mathbf{x}) = A\mathbf{x}$ rota los vectores un ángulo $\theta$.

  2. Proyección sobre el eje $x$: \(A = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{bmatrix}\) $T(x, y) = (x, 0)$

  3. Reflexión respecto al eje $y$: \(A = \begin{bmatrix} -1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}\)

Matriz asociada en distintas bases

Si se eligen bases $\mathcal{B}_V = {\mathbf{v}_1, \dots, \mathbf{v}_n}$ para $V$ y
$\mathcal{B}_W = {\mathbf{w}_1, \dots, \mathbf{w}_m}$ para $W$, la matriz asociada a $T$ depende de dichas bases.

Se define:

\[[T]_{\mathcal{B}_W, \mathcal{B}_V} = \begin{bmatrix} | & | & & | \\ [T(\mathbf{v}_1)]_{\mathcal{B}_W} & [T(\mathbf{v}_2)]_{\mathcal{B}_W} & \cdots & [T(\mathbf{v}_n)]_{\mathcal{B}_W} \\ | & | & & | \end{bmatrix}\]

De manera que para todo $\mathbf{x} \in V$:

\[[T(\mathbf{x})]_{\mathcal{B}_W} = [T]_{\mathcal{B}_W, \mathcal{B}_V} [\mathbf{x}]_{\mathcal{B}_V}\]

Cambio de base y semejanza matricial

Cuando se cambia la base en $V$, la matriz asociada a $T$ se transforma según:

\[[T]_{\mathcal{B}'} = P^{-1} [T]_{\mathcal{B&#125;&#125; P\]

donde $P$ es la matriz de cambio de base entre $\mathcal{B}$ y $\mathcal{B}’$.

Dos matrices $A$ y $B$ son semejantes si existe una matriz invertible $P$ tal que:

\[B = P^{-1} A P\]

Esto significa que ambas representan la misma transformación lineal pero en bases diferentes.

Composición y producto matricial

Si $T_1: \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^m$ y $T_2: \mathbb{R}^m \to \mathbb{R}^p$ son transformaciones lineales con matrices asociadas $A$ y $B$:

\[T_1(\mathbf{x}) = A\mathbf{x}, \quad T_2(\mathbf{y}) = B\mathbf{y}\]

entonces la composición $T_2 \circ T_1$ tiene como matriz:

\[[B A]\]

Por tanto:

\[(T_2 \circ T_1)(\mathbf{x}) = B(A\mathbf{x}) = (BA)\mathbf{x}\]

La composición de transformaciones corresponde al producto de matrices, preservando el orden.

Núcleo e imagen a través de la matriz

Dada $T(\mathbf{x}) = A\mathbf{x}$:

  • Núcleo: \(\ker(T) = \{\mathbf{x} \in \mathbb{R}^n \,|\, A\mathbf{x} = \mathbf{0}\}\)

  • Imagen: \(\operatorname{Im}(T) = \{A\mathbf{x} \,|\, \mathbf{x} \in \mathbb{R}^n\} = \operatorname{col}(A)\)

  • Dimensiones: \(\dim(\ker(T)) + \dim(\operatorname{Im}(T)) = n\)

Este es el teorema del rango y la nulidad, que vincula las propiedades estructurales de la transformación con las de su matriz.

Inversa de una transformación lineal

Una transformación $T: \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^n$ tiene inversa si y solo si su matriz $A$ es invertible, es decir:

\[\det(A) \neq 0\]

y

\[A^{-1}A = AA^{-1} = I\]

En este caso, la transformación inversa está dada por:

\[T^{-1}(\mathbf{x}) = A^{-1}\mathbf{x}\]

Transformaciones diagonales y autovalores

Cuando existe una base de autovectores de $T$, la matriz asociada es diagonalizable:

\[[T]_{\mathcal{B&#125;&#125; = P D P^{-1}\]

donde:

  • $D$ es una matriz diagonal con los autovalores $\lambda_i$ de $T$.
  • Las columnas de $P$ son los autovectores correspondientes.

Esto permite interpretar $T$ como un escalado independiente en cada dirección propia.

Resumen conceptual

Concepto Transformación lineal Matriz asociada
Definición $T: V \to W$, lineal $A \in \mathbb{R}^{m \times n}$
Aplicación $T(\mathbf{x})$ $A\mathbf{x}$
Composición $T_2 \circ T_1$ $B A$
Núcleo $\ker(T)$ ${\mathbf{x} : A\mathbf{x} = 0}$
Imagen $\operatorname{Im}(T)$ $\operatorname{col}(A)$
Inversa $T^{-1}$ $A^{-1}$
Cambio de base $P^{-1} A P$ Matrices semejantes

Aplicaciones

  • Representación de transformaciones geométricas y físicas.
  • Resolución de sistemas de ecuaciones lineales.
  • Diagonalización y autovalores para análisis de estabilidad y modos propios.
  • Descomposición en valores singulares (SVD) para reducción de dimensionalidad.
  • Implementación numérica en cálculo matricial y métodos numéricos.

Forma normal de una transformación lineal

La forma normal de una transformación lineal es una representación simplificada de su matriz asociada, obtenida mediante un cambio de base apropiado.
Su objetivo es expresar la transformación de la manera más sencilla posible, conservando sus propiedades estructurales (autovalores, rango, nulidad, etc.).

Esta forma permite analizar la naturaleza de la transformación y facilita el cálculo de potencias, inversas, exponentiales y otras operaciones matriciales.

Idea general

Si $T: V \to V$ es una transformación lineal, su representación matricial depende de la base elegida:

\[[T]_{\mathcal{B}'} = P^{-1} [T]_{\mathcal{B&#125;&#125; P\]

donde $P$ es la matriz de cambio de base.
Encontrar una forma normal consiste en hallar una base que transforme la matriz de $T$ en una forma canónica más simple, como diagonal, triangular, o canónica de Jordan.

Tipos principales de formas normales

1. Forma diagonal

Una transformación $T$ es diagonalizable si existe una base de autovectores ${\mathbf{v}_1, \dots, \mathbf{v}_n}$ tal que su matriz asociada es diagonal:

\[[T]_{\mathcal{B&#125;&#125; = \begin{bmatrix} \lambda_1 & 0 & \dots & 0 \\ 0 & \lambda_2 & \dots & 0 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & \dots & \lambda_n \end{bmatrix}\]

donde los $\lambda_i$ son los autovalores de $T$.

Condición de diagonalización: $T$ es diagonalizable ⇔ el número total de autovectores linealmente independientes = dimensión de $V$.

Interpretación: Cada autovector $\mathbf{v}_i$ es escalado por $\lambda_i$: \(T(\mathbf{v}_i) = \lambda_i \mathbf{v}_i\)

2. Forma triangular superior (Forma de Schur o de Jordan)

Si no es posible diagonalizar $T$, se puede representar mediante una matriz triangular superior.
Existen dos versiones principales:

a) Forma de Schur (para matrices normales o complejas)

Para cualquier matriz cuadrada $A \in \mathbb{C}^{n \times n}$, existe una base ortonormal tal que:

\[Q^{-1} A Q = R\]

donde $R$ es triangular superior, con los autovalores de $A$ en la diagonal.
Si $A$ es normal (es decir, $AA^* = A^*A$), entonces $R$ es diagonal.

b) Forma canónica de Jordan

Toda transformación lineal $T$ sobre $\mathbb{C}$ puede representarse en una base especial donde su matriz tiene la forma:

\[J = \begin{bmatrix} J_{1} & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & J_{2} & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & \cdots & J_{k} \end{bmatrix}\]

donde cada $J_i$ es un bloque de Jordan asociado a un autovalor $\lambda_i$:

\[J_i = \begin{bmatrix} \lambda_i & 1 & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & \lambda_i & 1 & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & \cdots & \lambda_i & 1 \\ 0 & 0 & \cdots & 0 & \lambda_i \end{bmatrix}\]

Cada bloque representa un subespacio generalizado donde $T$ no puede diagonalizarse pero sigue teniendo una estructura repetitiva.

3. Forma canónica por semejanza

Dos transformaciones $T_1$ y $T_2$ son semejantes si existen matrices invertibles $P$ tales que:

\[[T_2] = P^{-1} [T_1] P\]

Ambas representan la misma transformación lineal en diferentes bases.
La forma normal busca un representante canónico dentro de esta clase de semejanza.

4. Forma canónica racional (o de Frobenius)

Cuando se trabaja sobre cuerpos que no son algebraicamente cerrados (por ejemplo $\mathbb{R}$), no siempre es posible obtener la forma de Jordan.
En este caso se utiliza la forma racional, basada en los polinomios invariantes de la matriz.

Para una matriz $A$, existe una matriz invertible $P$ tal que:

\[P^{-1} A P = \begin{bmatrix} C(p_1(x)) & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & C(p_2(x)) & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & \cdots & C(p_k(x)) \end{bmatrix}\]

donde cada $C(p_i(x))$ es la matriz compañera de un polinomio invariante $p_i(x)$.

Propiedades conservadas en la forma normal

Al aplicar un cambio de base, ciertas propiedades fundamentales de la transformación no cambian:

  • Autovalores
  • Multiplicidad algebraica y geométrica
  • Determinante
  • Traza
  • Rango
  • Dimensión del núcleo
  • Polinomio característico

Por eso, la forma normal permite estudiar $T$ sin alterar su comportamiento esencial.

Resumen comparativo

Tipo de forma Condiciones Estructura Campo necesario
Diagonal $n$ autovectores independientes Diagonal con autovalores $\mathbb{R}$ o $\mathbb{C}$
Schur Siempre posible (sobre $\mathbb{C}$) Triangular superior $\mathbb{C}$
Jordan Siempre posible (sobre $\mathbb{C}$) Bloques Jordan $\mathbb{C}$
Racional (Frobenius) Siempre posible Bloques compañera Cualquier cuerpo

Interpretación geométrica

  • La forma diagonal representa transformaciones donde cada dirección base es un autoeje independiente.
  • La forma de Jordan muestra cómo la transformación mezcla o acopla subespacios que comparten autovalores.
  • La forma racional codifica el comportamiento algebraico mediante polinomios, sin necesidad de autovectores reales.

Aplicaciones

  • Estudio del comportamiento dinámico de sistemas lineales.
  • Cálculo de $T^k$, $e^{Tt}$ o funciones matriciales.
  • Análisis de estabilidad en ecuaciones diferenciales lineales.
  • Compresión de información estructural en transformaciones de gran dimensión.
  • Implementación eficiente de algoritmos en Cálculo numérico.

Valores y vectores propios

Los valores propios (o autovalores) y vectores propios (o autovectores) son conceptos fundamentales en el estudio de las transformaciones lineales y las matrices.
Permiten comprender cómo una transformación actúa sobre ciertas direcciones del espacio que permanecen invariantes, excepto por un factor de escala.

Definición

Sea $T: V \to V$ una transformación lineal sobre un espacio vectorial $V$.
Un valor propio $\lambda \in \mathbb{K}$ y un vector propio no nulo $\mathbf{v} \in V$ satisfacen:

\[T(\mathbf{v}) = \lambda \mathbf{v}\]

En términos matriciales, si $A$ representa a $T$:

\[A\mathbf{v} = \lambda \mathbf{v}\]

Esto significa que la acción de $A$ sobre $\mathbf{v}$ no cambia su dirección, solo su magnitud (escalada por $\lambda$).

Ecuación característica

Reordenando la ecuación anterior:

\[(A - \lambda I)\mathbf{v} = 0\]

Para que exista un vector no nulo $\mathbf{v}$, el sistema debe ser singular, es decir:

\[\det(A - \lambda I) = 0\]

Esta ecuación se denomina ecuación característica, y su solución en $\lambda$ proporciona los valores propios de $A$.

Polinomio característico

El polinomio característico de una matriz cuadrada $A \in \mathbb{K}^{n \times n}$ se define como:

\[p_A(\lambda) = \det(A - \lambda I)\]

Es un polinomio de grado $n$ cuyos ceros son los autovalores de $A$.

Ejemplo:

Si \(A = \begin{bmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 2 \end{bmatrix}\) entonces \(p_A(\lambda) = \det \begin{bmatrix} 2 - \lambda & 1 \\ 1 & 2 - \lambda \end{bmatrix} = (2 - \lambda)^2 - 1 = \lambda^2 - 4\lambda + 3\) y sus autovalores son $\lambda_1 = 3$, $\lambda_2 = 1$.

Cálculo de los vectores propios

Una vez hallados los valores propios, se determinan los vectores propios resolviendo:

\[(A - \lambda I)\mathbf{v} = 0\]

El conjunto de todas las soluciones (junto con el vector nulo) forma el espacio propio asociado a $\lambda$:

\[E_\lambda = \ker(A - \lambda I)\]

donde

\[\dim(E_\lambda) = \text{multiplicidad geométrica de } \lambda\]

Multiplicidades

  • Multiplicidad algebraica ($m_a$): número de veces que $\lambda$ aparece como raíz del polinomio característico.
  • Multiplicidad geométrica ($m_g$): dimensión del espacio propio $E_\lambda$.

Siempre se cumple: \(1 \leq m_g \leq m_a\)

Una matriz es diagonalizable si y solo si para cada autovalor $\lambda$: \(m_g = m_a\)

Propiedades fundamentales

  1. La traza de $A$ es la suma de sus autovalores (contando multiplicidades): \(\operatorname{tr}(A) = \sum_{i=1}^n \lambda_i\)

  2. El determinante de $A$ es el producto de sus autovalores: \(\det(A) = \prod_{i=1}^n \lambda_i\)

  3. Los autovalores de $A^T$ son los mismos que los de $A$.

  4. Si $A$ es simétrica, todos sus autovalores son reales y los autovectores correspondientes pueden elegirse ortonormales.

Diagonalización

Una matriz $A$ es diagonalizable si existe una matriz invertible $P$ y una matriz diagonal $D$ tales que:

\[A = P D P^{-1}\]

donde:

  • Las columnas de $P$ son los autovectores de $A$.
  • La diagonal de $D$ contiene los autovalores correspondientes.

En esta forma:

\[D = \begin{bmatrix} \lambda_1 & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & \lambda_2 & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & \cdots & \lambda_n \end{bmatrix}\]

Interpretación:
Cada autovector $\mathbf{v}_i$ es una dirección en la que la transformación $A$ actúa como una escala $\lambda_i$.

Autovalores y autovectores complejos

Aunque $A$ tenga entradas reales, sus autovalores pueden ser complejos.
Por ejemplo, una rotación en el plano tiene autovalores $e^{\pm i\theta}$.
En estos casos, el análisis se realiza en $\mathbb{C}^n$.

Ejemplo numérico

Sea \(A = \begin{bmatrix} 4 & -2 \\ 1 & 1 \end{bmatrix}\)

  1. Ecuación característica: \(\det(A - \lambda I) = \begin{vmatrix} 4 - \lambda & -2 \\ 1 & 1 - \lambda \end{vmatrix} = (4 - \lambda)(1 - \lambda) + 2 = \lambda^2 - 5\lambda + 6 = 0\) Autovalores: $\lambda_1 = 2, \lambda_2 = 3$

  2. Para $\lambda_1 = 2$: \((A - 2I)\mathbf{v} = \begin{bmatrix} 2 & -2 \\ 1 & -1 \end{bmatrix} \mathbf{v} = 0 \Rightarrow \mathbf{v}_1 = \begin{bmatrix}1 \\ 1\end{bmatrix}\)

  3. Para $\lambda_2 = 3$: \((A - 3I)\mathbf{v} = \begin{bmatrix} 1 & -2 \\ 1 & -2 \end{bmatrix} \mathbf{v} = 0 \Rightarrow \mathbf{v}_2 = \begin{bmatrix}2 \\ 1\end{bmatrix}\)

  4. Matriz de autovectores: \(P = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 1 & 1 \end{bmatrix}, \quad D = \begin{bmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 3 \end{bmatrix}\)

    Verificación: \(A = P D P^{-1}\)

Interpretación geométrica

Los autovectores representan direcciones que no cambian bajo la acción de $A$.
Los autovalores indican cuánto se escala o invierte esa dirección.

  • Si $\lambda > 1$: el vector se alarga.
  • Si $0 < \lambda < 1$: el vector se acorta.
  • Si $\lambda < 0$: el vector invierte su dirección.
  • Si $ \lambda = 1$: el vector conserva su magnitud (rotación o reflexión).

Aplicaciones

  • Análisis de estabilidad en sistemas dinámicos.
  • Compresión y reducción de dimensiones (PCA, SVD).
  • Resolución de ecuaciones diferenciales lineales.
  • Estudio de vibraciones, modos normales y oscilaciones.
  • Diagonalización y formas normales de matrices.
  • Análisis espectral en Cálculo numérico y física matemática.

Producto interno y ortogonalidad en espacios vectoriales sobre ℝ

El producto interno es una herramienta que extiende el concepto de multiplicación escalar y ángulo entre vectores a espacios vectoriales más generales.
Permite definir nociones de longitud, ángulo, proyección y ortogonalidad, fundamentales en el análisis de espacios vectoriales, transformaciones lineales y álgebra lineal aplicada.

Definición de producto interno

Sea $V$ un espacio vectorial sobre $\mathbb{R}$.
Un producto interno en $V$ es una aplicación

\[\langle \cdot , \cdot \rangle : V \times V \to \mathbb{R}\]

que cumple, para todo $\mathbf{u}, \mathbf{v}, \mathbf{w} \in V$ y $\alpha \in \mathbb{R}$:

  1. Linealidad en el primer argumento
    \(\langle \alpha \mathbf{u} + \mathbf{v}, \mathbf{w} \rangle = \alpha \langle \mathbf{u}, \mathbf{w} \rangle + \langle \mathbf{v}, \mathbf{w} \rangle\)

  2. Simetría
    \(\langle \mathbf{u}, \mathbf{v} \rangle = \langle \mathbf{v}, \mathbf{u} \rangle\)

  3. Positividad definida
    \(\langle \mathbf{v}, \mathbf{v} \rangle \ge 0 \quad \text{y} \quad \langle \mathbf{v}, \mathbf{v} \rangle = 0 \iff \mathbf{v} = \mathbf{0}\)

Ejemplo en $\mathbb{R}^n$

El producto interno canónico (o producto punto) se define como:

\[\langle \mathbf{u}, \mathbf{v} \rangle = \sum_{i=1}^{n} u_i v_i = \mathbf{u}^T \mathbf{v}\]

Para vectores en $\mathbb{R}^2$: \(\langle (x_1, y_1), (x_2, y_2) \rangle = x_1x_2 + y_1y_2\)

Norma inducida por el producto interno

El producto interno induce una norma en $V$:

\[\|\mathbf{v}\| = \sqrt{\langle \mathbf{v}, \mathbf{v} \rangle}\]

que representa la longitud o magnitud del vector $\mathbf{v}$.

Ángulo entre vectores

El ángulo $\theta$ entre dos vectores no nulos $\mathbf{u}, \mathbf{v} \in V$ se define mediante:

\[\cos(\theta) = \frac{\langle \mathbf{u}, \mathbf{v} \rangle}{\|\mathbf{u}\| \, \|\mathbf{v}\|}\]

Por tanto:

\[\langle \mathbf{u}, \mathbf{v} \rangle = \|\mathbf{u}\| \, \|\mathbf{v}\| \cos(\theta)\]

Ortogonalidad

Dos vectores $\mathbf{u}, \mathbf{v} \in V$ son ortogonales si:

\[\langle \mathbf{u}, \mathbf{v} \rangle = 0\]

Si además $|\mathbf{u}| = |\mathbf{v}| = 1$, se dice que son ortonormales.

Un conjunto de vectores ${\mathbf{v}_1, \mathbf{v}_2, \dots, \mathbf{v}_k}$ es:

  • Ortogonal si $\langle \mathbf{v}_i, \mathbf{v}_j \rangle = 0$ para todo $i \neq j$.
  • Ortonormal si además cada vector tiene norma 1.

Propiedades de la ortogonalidad

  1. Si $\mathbf{u}, \mathbf{v}$ son ortogonales, entonces: \(\|\mathbf{u} + \mathbf{v}\|^2 = \|\mathbf{u}\|^2 + \|\mathbf{v}\|^2\) (Teorema de Pitágoras)

  2. En un conjunto ortogonal no nulo, los vectores son linealmente independientes.

  3. En $\mathbb{R}^n$, cualquier conjunto ortogonal puede ser normalizado para formar una base ortonormal.

Proyección ortogonal

La proyección ortogonal de un vector $\mathbf{v}$ sobre otro $\mathbf{u} \neq 0$ se define como:

\[\operatorname{proj}_{\mathbf{u&#125;&#125;(\mathbf{v}) = \frac{\langle \mathbf{v}, \mathbf{u} \rangle}{\langle \mathbf{u}, \mathbf{u} \rangle} \, \mathbf{u}\]

El componente ortogonal de $\mathbf{v}$ respecto a $\mathbf{u}$ es:

\[\mathbf{v}_\perp = \mathbf{v} - \operatorname{proj}_{\mathbf{u&#125;&#125;(\mathbf{v})\]

y satisface: \(\langle \mathbf{v}_\perp, \mathbf{u} \rangle = 0\)

Ortogonalización de Gram-Schmidt

Dado un conjunto linealmente independiente ${\mathbf{v}_1, \mathbf{v}_2, \dots, \mathbf{v}_n}$, el proceso de Gram-Schmidt construye un conjunto ortonormal ${\mathbf{u}_1, \mathbf{u}_2, \dots, \mathbf{u}_n}$ como:

  1. $\mathbf{u}_1 = \frac{\mathbf{v}_1}{|\mathbf{v}_1|}$
  2. Para $k \ge 2$: \(\mathbf{w}_k = \mathbf{v}_k - \sum_{i=1}^{k-1} \langle \mathbf{v}_k, \mathbf{u}_i \rangle \mathbf{u}_i\) \(\mathbf{u}_k = \frac{\mathbf{w}_k}{\|\mathbf{w}_k\|}\)

El conjunto ${\mathbf{u}_i}$ es una base ortonormal del subespacio generado por ${\mathbf{v}_i}$.

Subespacios ortogonales

Sea $W \subseteq V$ un subespacio.
El complemento ortogonal de $W$ se define como:

\[W^\perp = \{\mathbf{v} \in V \mid \langle \mathbf{v}, \mathbf{w} \rangle = 0 \ \forall \mathbf{w} \in W\}\]

Propiedades:

  1. $W \cap W^\perp = {\mathbf{0}}$
  2. Si $V$ es de dimensión finita: \(V = W \oplus W^\perp\)
  3. Si $B = {\mathbf{u}_1, \dots, \mathbf{u}_k}$ es una base ortonormal de $W$: \(\operatorname{proj}_W(\mathbf{v}) = \sum_{i=1}^{k} \langle \mathbf{v}, \mathbf{u}_i \rangle \mathbf{u}_i\)

Matrices ortogonales

Una matriz cuadrada $Q \in \mathbb{R}^{n \times n}$ es ortogonal si:

\[Q^T Q = QQ^T = I\]

Propiedades:

  • Las columnas (y filas) de $Q$ son ortonormales.
  • $Q^{-1} = Q^T$
  • La multiplicación por $Q$ preserva longitudes y ángulos: \(\|Q\mathbf{v}\| = \|\mathbf{v}\|, \quad \langle Q\mathbf{u}, Q\mathbf{v} \rangle = \langle \mathbf{u}, \mathbf{v} \rangle\)

Aplicaciones

  • Construcción de bases ortonormales en espacios vectoriales.
  • Proyecciones en subespacios y mínimos cuadrados.
  • Análisis geométrico y álgebra matricial (rotaciones, reflexiones, simetrías).
  • Descomposición QR y métodos numéricos.
  • Fundamento para la Transformada de Fourier y la SVD.

Bases ortogonales

Una base ortogonal en un espacio vectorial real con producto interno es un conjunto de vectores mutuamente ortogonales que generan el espacio.
Si además cada vector tiene norma unitaria, se denomina base ortonormal.
Estas bases simplifican enormemente los cálculos y son esenciales en álgebra lineal, análisis numérico y geometría vectorial.

Definición

Sea $V$ un espacio vectorial sobre $\mathbb{R}$ con producto interno $\langle \cdot , \cdot \rangle$.
Un conjunto de vectores $B = {\mathbf{v}_1, \mathbf{v}_2, \dots, \mathbf{v}_n} \subset V$ es una base ortogonal si:

  1. $B$ es una base de $V$, es decir, los vectores son linealmente independientes y generan $V$.
  2. Los vectores son ortogonales entre sí: \(\langle \mathbf{v}_i, \mathbf{v}_j \rangle = 0 \quad \text{para todo } i \neq j\)

Si además: \(\|\mathbf{v}_i\| = 1 \quad \forall i\) entonces $B$ es una base ortonormal.

Propiedades fundamentales

  1. Si $B = {\mathbf{v}_1, \dots, \mathbf{v}_n}$ es ortogonal, todo vector $\mathbf{x} \in V$ puede escribirse como: \(\mathbf{x} = \sum_{i=1}^n c_i \mathbf{v}_i\)

    donde los coeficientes se calculan fácilmente por: \(c_i = \frac{\langle \mathbf{x}, \mathbf{v}_i \rangle}{\langle \mathbf{v}_i, \mathbf{v}_i \rangle}\)

  2. Si $B$ es ortonormal: \(c_i = \langle \mathbf{x}, \mathbf{v}_i \rangle\)

    En este caso, las coordenadas de $\mathbf{x}$ respecto a $B$ son directamente sus proyecciones sobre los vectores de la base.

  3. El cálculo de la norma se simplifica: \(\|\mathbf{x}\|^2 = \sum_{i=1}^n |c_i|^2\)

Construcción de una base ortogonal

Dado un conjunto linealmente independiente ${\mathbf{v}_1, \dots, \mathbf{v}_n}$, puede construirse una base ortogonal aplicando el proceso de Gram-Schmidt:

  1. $\mathbf{u}_1 = \mathbf{v}_1$
  2. Para $k \ge 2$: \(\mathbf{u}_k = \mathbf{v}_k - \sum_{i=1}^{k-1} \frac{\langle \mathbf{v}_k, \mathbf{u}_i \rangle}{\langle \mathbf{u}_i, \mathbf{u}_i \rangle} \mathbf{u}_i\)

El conjunto ${\mathbf{u}_1, \dots, \mathbf{u}_n}$ es ortogonal.
Si además se normaliza cada vector: \(\mathbf{e}_i = \frac{\mathbf{u}_i}{\|\mathbf{u}_i\|}\) se obtiene una base ortonormal.

Ejemplo

Sea el conjunto de vectores en $\mathbb{R}^3$:

\[\mathbf{v}_1 = (1, 1, 0), \quad \mathbf{v}_2 = (1, 0, 1)\]

  1. Primer vector: \(\mathbf{u}_1 = \mathbf{v}_1 = (1, 1, 0)\)

  2. Segundo vector: \(\mathbf{u}_2 = \mathbf{v}_2 - \frac{\langle \mathbf{v}_2, \mathbf{u}_1 \rangle}{\langle \mathbf{u}_1, \mathbf{u}_1 \rangle} \mathbf{u}_1\)

    Calculamos: \(\langle \mathbf{v}_2, \mathbf{u}_1 \rangle = 1(1) + 0(1) + 1(0) = 1, \quad \langle \mathbf{u}_1, \mathbf{u}_1 \rangle = 1^2 + 1^2 + 0^2 = 2\)

    Entonces: \(\mathbf{u}_2 = (1, 0, 1) - \frac{1}{2}(1, 1, 0) = \left(\frac{1}{2}, -\frac{1}{2}, 1\right)\)

  3. Normalizamos: \(\mathbf{e}_1 = \frac{1}{\sqrt{2&#125;&#125;(1, 1, 0), \quad \mathbf{e}_2 = \frac{1}{\sqrt{\frac{3}{2&#125;&#125;&#125;\left(\frac{1}{2}, -\frac{1}{2}, 1\right) = \frac{1}{\sqrt{6&#125;&#125;(1, -1, 2)\)

Por tanto, la base ortonormal es: \(B = \left\{ \frac{1}{\sqrt{2&#125;&#125;(1, 1, 0), \, \frac{1}{\sqrt{6&#125;&#125;(1, -1, 2) \right\}\)

Ventajas del uso de bases ortogonales

  • Simplifican el cálculo de proyecciones y coordenadas.
  • Hacen más eficiente el cálculo numérico (reducción de errores de redondeo).
  • Facilitan la diagonalización de matrices simétricas.
  • Permiten representar subespacios mediante proyecciones ortogonales.
  • Son base para algoritmos como la Descomposición QR o la Transformada de Fourier.

Propiedades adicionales

  1. Si ${\mathbf{u}_1, \dots, \mathbf{u}_n}$ es ortonormal, entonces: \(I = [\mathbf{u}_1 \ \mathbf{u}_2 \ \dots \ \mathbf{u}_n]^T [\mathbf{u}_1 \ \mathbf{u}_2 \ \dots \ \mathbf{u}_n]\)

    lo que implica que la matriz formada por las columnas de la base es ortogonal: \(Q^T Q = I\)

  2. Si $Q$ es ortogonal, sus columnas forman una base ortonormal de $\mathbb{R}^n$.

  3. Toda rotación o reflexión en $\mathbb{R}^n$ puede representarse como una transformación lineal cuya matriz es ortogonal respecto a la base canónica.

Aplicaciones

  • Análisis numérico: métodos QR y SVD.
  • Geometría analítica: descomposición en componentes ortogonales.
  • Procesamiento de señales: bases ortogonales (Fourier, wavelets).
  • Física: descomposición de movimientos y campos vectoriales.
  • Álgebra lineal computacional: estabilidad numérica y reducción de matrices.

Teorema espectral en ℝ

El teorema espectral es uno de los resultados más importantes del álgebra lineal y del estudio de las transformaciones lineales y matrices simétricas en espacios vectoriales reales con producto interno.
Establece que toda matriz simétrica real es diagonalizable mediante una matriz ortogonal, lo que implica que sus autovalores son reales y sus autovectores pueden elegirse ortogonales.

Enunciado del teorema espectral

Sea $A \in \mathbb{R}^{n \times n}$ una matriz simétrica, es decir:

\[A^T = A\]

Entonces existen:

  • una matriz ortogonal $Q$ ($Q^T Q = I$), y
  • una matriz diagonal $D$,

tales que:

\[A = Q D Q^T\]

donde:

  • Las columnas de $Q$ son autovectores ortonormales de $A$.
  • Los elementos de la diagonal de $D$ son los autovalores reales de $A$.

Consecuencias directas

  1. Los autovalores de una matriz simétrica son reales:
    Si $A\mathbf{v} = \lambda \mathbf{v}$ con $\mathbf{v} \neq 0$, entonces \(\lambda = \frac{\langle A\mathbf{v}, \mathbf{v} \rangle}{\langle \mathbf{v}, \mathbf{v} \rangle} \in \mathbb{R}\)

  2. Los autovectores asociados a autovalores distintos son ortogonales:
    Si $A\mathbf{v}_i = \lambda_i \mathbf{v}_i$ y $A\mathbf{v}_j = \lambda_j \mathbf{v}_j$ con $\lambda_i \neq \lambda_j$, entonces \(\langle \mathbf{v}_i, \mathbf{v}_j \rangle = 0\)

  3. Existe una base ortonormal de autovectores de $\mathbb{R}^n$.
    Esto permite expresar $A$ como una combinación simple de proyecciones ortogonales.

Interpretación geométrica

El teorema espectral indica que toda transformación lineal simétrica en $\mathbb{R}^n$:

  • Preserva la ortogonalidad,
  • Escala los vectores en ciertas direcciones (los autovectores),
  • y esas direcciones forman una base ortonormal del espacio.

En otras palabras, $A$ actúa como una “dilatación direccional”: cada autovector se estira o comprime por su autovalor correspondiente.

Forma diagonal de una matriz simétrica

Si $A = Q D Q^T$, entonces:

\[D = Q^T A Q\]

donde $D = \operatorname{diag}(\lambda_1, \lambda_2, \dots, \lambda_n)$.

Cada autovalor $\lambda_i$ corresponde al autovector $\mathbf{q}_i$, columna de $Q$, y se cumple:

\[A\mathbf{q}_i = \lambda_i \mathbf{q}_i, \quad \langle \mathbf{q}_i, \mathbf{q}_j \rangle = \delta_{ij}\]

Descomposición espectral

El teorema puede expresarse también como una suma ponderada de proyecciones ortogonales:

\[A = \sum_{i=1}^{n} \lambda_i \, \mathbf{q}_i \mathbf{q}_i^T\]

donde $\mathbf{q}_i \mathbf{q}_i^T$ es la proyección ortogonal sobre el subespacio generado por $\mathbf{q}_i$.

Esta forma muestra explícitamente cómo $A$ actúa escalando cada dirección propia por su autovalor.

Ejemplo

Sea \(A = \begin{bmatrix} 4 & 1 \\ 1 & 3 \end{bmatrix}\) (verificamos que $A^T = A$).

  1. Ecuación característica: \(\det(A - \lambda I) = \begin{vmatrix} 4 - \lambda & 1 \\ 1 & 3 - \lambda \end{vmatrix} = \lambda^2 - 7\lambda + 11 = 0\) Autovalores: $\lambda_1 = 5.618, \; \lambda_2 = 1.382$

  2. Autovectores (normalizados): \(\mathbf{q}_1 \approx \frac{1}{\sqrt{2&#125;&#125;(0.850, 0.526), \quad \mathbf{q}_2 \approx \frac{1}{\sqrt{2&#125;&#125;(-0.526, 0.850)\)

  3. Descomposición ortogonal: \(Q = \begin{bmatrix} 0.850 & -0.526 \\ 0.526 & 0.850 \end{bmatrix}, \quad D = \begin{bmatrix} 5.618 & 0 \\ 0 & 1.382 \end{bmatrix}\)

    Comprobamos: \(A = Q D Q^T\)

Generalización a subespacios y operadores

En espacios vectoriales reales de dimensión finita con producto interno, toda transformación lineal autoadjunta
(es decir, $T = T^*$) cumple una versión equivalente del teorema espectral:

\[T(\mathbf{v}_i) = \lambda_i \mathbf{v}_i, \quad \{\mathbf{v}_i\} \text{ base ortonormal}\]

y puede escribirse como: \(T = \sum_{i=1}^{n} \lambda_i \, P_{E_{\lambda_i&#125;&#125;\) donde $P_{E_{\lambda_i}}$ es la proyección ortogonal sobre el espacio propio asociado al autovalor $\lambda_i$.

Propiedades adicionales

  1. Si $A$ es simétrica, entonces: \(A = Q D Q^T = (Q D^{1/2})(Q D^{1/2})^T\) lo que implica que $A$ es semidefinida positiva si y solo si todos los $\lambda_i \ge 0$.

  2. La diagonalización ortogonal permite simplificar funciones de matrices: \(f(A) = Q f(D) Q^T\) donde $f(D)$ se obtiene aplicando $f$ a cada autovalor.

  3. Si $A$ es una matriz de covarianza, su descomposición espectral conduce al análisis de componentes principales (PCA).

Aplicaciones

  • Diagonalización de matrices simétricas reales.
  • Descomposición espectral en estadística y análisis de datos (PCA).
  • Sistemas de ecuaciones diferenciales lineales con coeficientes simétricos.
  • Análisis numérico: estabilidad y reducción ortogonal.
  • Mecánica cuántica y operadores autoadjuntos.
  • Análisis funcional y formas cuadráticas.

Geometría de las transformaciones lineales en ℝ

Las transformaciones lineales en el espacio real $\mathbb{R}^n$ no solo son expresiones algebraicas, sino que también tienen una interpretación geométrica muy clara.
Cada transformación lineal $T: \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^n$ puede representarse mediante una matriz $A$ tal que:

\[T(\mathbf{x}) = A\mathbf{x}\]

Esta representación nos permite entender cómo la transformación modifica la geometría del espacio: distancias, direcciones, áreas, volúmenes y ángulos.

Transformaciones elementales en ℝ² y ℝ³

Las transformaciones lineales pueden visualizarse mediante sus efectos sobre vectores, figuras o bases.
Algunos casos fundamentales:

1. Escalamiento

Multiplica los vectores por un escalar $k$:

\[T(\mathbf{x}) = k\mathbf{x}\]
  • Geométricamente: expande ($ k > 1$) o contrae ($0 < k < 1$) el espacio.
  • Si $k < 0$, también invierte la orientación.

Ejemplo: \(A = \begin{bmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 2 \end{bmatrix}\) duplica todas las longitudes.

2. Reflexión

Refleja los puntos respecto a un eje, plano o hipersuperficie.

Ejemplo en $\mathbb{R}^2$: reflexión respecto al eje $x$

\[A = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{bmatrix}\]
  • Geométricamente: cambia el signo de la coordenada $y$.
  • Preserva distancias y ángulos (es una isometría).

3. Rotación

Gira el espacio en torno al origen sin modificar distancias.

En $\mathbb{R}^2$, una rotación por un ángulo $\theta$:

\[A = \begin{bmatrix} \cos\theta & -\sin\theta \\ \sin\theta & \cos\theta \end{bmatrix}\]
  • Preserva la norma: $|A\mathbf{x}| = |\mathbf{x}|$.
  • Determinante: $\det(A) = 1$.

En $\mathbb{R}^3$, las rotaciones se representan respecto a un eje (por ejemplo, usando matrices de rotación o cuaterniones).

4. Cizalla (shear)

Desplaza una dirección proporcionalmente a otra, deformando el espacio sin cambiar áreas (si $\det(A) = 1$).

Ejemplo en $\mathbb{R}^2$:

\[A = \begin{bmatrix} 1 & k \\ 0 & 1 \end{bmatrix}\]
  • Las líneas horizontales se mantienen, pero las verticales se inclinan.
  • Ángulos y longitudes no se conservan.

5. Proyección

Reduce la dimensión del espacio proyectando sobre un subespacio.

Por ejemplo, proyección ortogonal sobre el eje $x$:

\[A = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{bmatrix}\]
  • Es idempotente: $A^2 = A$.
  • Reduce la norma (a menos que el vector ya esté en el subespacio).

Interpretación general en términos de autovalores y autovectores

Sea $A$ la matriz que representa $T$.
Los autovalores y autovectores de $A$ describen direcciones y factores de escalado fundamentales:

\[A\mathbf{v}_i = \lambda_i \mathbf{v}_i\]
  • Cada autovector $\mathbf{v}_i$ indica una dirección invariante (la transformación no cambia su dirección).
  • El autovalor $\lambda_i$ mide cuánto se alarga o comprime esa dirección.

Geometría según el valor de $\lambda_i$:

Tipo de autovalor Interpretación geométrica
$\lambda > 1$ Expansión en esa dirección
$0 < \lambda < 1$ Contracción
$\lambda = 1$ Dirección invariante
$\lambda = 0$ Proyección sobre un subespacio
$\lambda < 0$ Reflexión y posible inversión de orientación

Caso particular: transformaciones simétricas

Cuando $A = A^T$, la transformación:

  • Tiene autovectores ortogonales.
  • No rota el espacio: solo escala en direcciones mutuamente ortogonales.
  • Puede representarse como una combinación de proyecciones y escalados.

Esto se conecta directamente con el Teorema espectral en ℝ:

\[A = Q D Q^T\]

donde $D$ contiene los autovalores (escalas) y $Q$ las direcciones ortogonales.

Determinante y orientación

El determinante de una matriz $A$ mide el factor de cambio de volumen y la orientación del espacio bajo $T$:

  • $ \det(A) $: factor por el que se multiplica el área o volumen.
  • $\det(A) > 0$: preserva la orientación.
  • $\det(A) < 0$: invierte la orientación (como un espejo).

Ejemplo:

  • Si $\det(A) = 2$, el área se duplica.
  • Si $\det(A) = -1$, el espacio se refleja.

Núcleo e imagen: efectos geométricos

  • Núcleo $\ker(A)$: conjunto de vectores que se transforman en $0$.
    → Son las direcciones aplastadas o colapsadas.

  • Imagen $\text{Im}(A)$: conjunto de vectores alcanzables como $A\mathbf{x}$.
    → Es el subespacio donde se proyecta el espacio original.

Por el teorema del rango-nulidad: \(\dim(\ker(A)) + \dim(\text{Im}(A)) = n\)

Transformaciones ortogonales

Una transformación ortogonal preserva el producto interno, es decir: \(\langle A\mathbf{x}, A\mathbf{y} \rangle = \langle \mathbf{x}, \mathbf{y} \rangle\)

Esto implica: \(A^T A = I\)

Por tanto, las transformaciones ortogonales son isometrías:
preservan longitudes y ángulos (rotaciones, reflexiones, simetrías).

Interpretación en términos de deformación

Toda transformación lineal $T$ puede descomponerse como una combinación de:

  1. Rotación/reflexión ortogonal $Q$
  2. Escalado direccional $D$
  3. Otra rotación/reflexión $P$
\[A = Q D P^T\]

Esta descomposición se conoce como la Descomposición en Valores Singulares (SVD) y describe cómo una transformación lineal:

  • Rota el espacio,
  • Deforma (escala) en direcciones particulares,
  • y vuelve a rotar.

Geométricamente, cualquier elipse o elipsoide generado por $A$ proviene de aplicar $A$ a una esfera o círculo unidad.

Ejemplo geométrico completo

Sea \(A = \begin{bmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 2 \end{bmatrix}\)

  1. Autovalores y autovectores: \(\lambda_1 = 3, \quad \lambda_2 = 1\) \(\mathbf{v}_1 = \begin{bmatrix}1 \\ 1\end{bmatrix}, \quad \mathbf{v}_2 = \begin{bmatrix}1 \\ -1\end{bmatrix}\)

  2. Interpretación:

    • La dirección $(1,1)$ se expande 3 veces.
    • La dirección $(1,-1)$ se mantiene (factor 1).
    • La figura resultante de transformar un círculo es una elipse con ejes principales alineados con los autovectores.

Conceptos relacionados

  • Transformaciones lineales y matrices
  • Autovalores y autovectores
  • Teorema espectral en ℝ
  • Producto interno y ortogonalidad en espacios vectoriales sobre ℝ
  • Bases ortogonales
  • Descomposición en valores singulares (SVD)
  • Determinante y cambio de volumen

Mínimos cuadrados

El método de los mínimos cuadrados es una técnica fundamental en Cálculo numérico y álgebra lineal para aproximar soluciones de sistemas de ecuaciones lineales sobredeterminados, es decir, con más ecuaciones que incógnitas ($m > n$).

Dado un sistema:

\[A\mathbf{x} \approx \mathbf{b}\]

donde $A \in \mathbb{R}^{m \times n}$, $\mathbf{b} \in \mathbb{R}^m$, y el sistema puede no tener solución exacta, el objetivo es encontrar el vector $\mathbf{x}$ que minimiza el error cuadrático:

\[\min_{\mathbf{x&#125;&#125; \|A\mathbf{x} - \mathbf{b}\|_2^2\]

Interpretación geométrica

  • El vector $A\mathbf{x}$ pertenece al subespacio columna de $A$.
  • La solución de mínimos cuadrados proyecta $\mathbf{b}$ ortogonalmente sobre ese subespacio.
  • El error $\mathbf{r} = \mathbf{b} - A\mathbf{x}^*$ es perpendicular a todas las columnas de $A$:
\[A^T (\mathbf{b} - A\mathbf{x}^*) = 0\]

Esto significa que el error mínimo es ortogonal al espacio generado por las columnas de $A$.

Ecuaciones normales

A partir de la condición de ortogonalidad anterior, obtenemos las ecuaciones normales:

\[A^T A \mathbf{x} = A^T \mathbf{b}\]

Si $A^T A$ es invertible (es decir, $A$ tiene rango completo), entonces la solución única es:

\[\mathbf{x}^* = (A^T A)^{-1} A^T \mathbf{b}\]

Esta expresión define la solución de mínimos cuadrados ordinarios (OLS).

Interpretación matricial

La matriz:

\[A^+ = (A^T A)^{-1} A^T\]

es la pseudoinversa de Moore-Penrose (cuando $A$ tiene rango completo en columnas).
Por tanto, la solución se puede escribir como:

\[\mathbf{x}^* = A^+ \mathbf{b}\]

y la proyección del vector $\mathbf{b}$ sobre el subespacio generado por las columnas de $A$ es:

\[\hat{\mathbf{b&#125;&#125; = A\mathbf{x}^* = A A^+ \mathbf{b}\]

Propiedades geométricas

  1. $\hat{\mathbf{b}}$ es la proyección ortogonal de $\mathbf{b}$ sobre el subespacio columna de $A$.

  2. El vector de residuos $\mathbf{r} = \mathbf{b} - \hat{\mathbf{b}}$ es ortogonal a dicho subespacio:

    \[A^T \mathbf{r} = 0\]

  3. La matriz $P = A A^+$ es una matriz de proyección ortogonal:

    \[P^2 = P, \quad P^T = P\]

Condiciones de unicidad

  • Si las columnas de $A$ son linealmente independientes, la solución de mínimos cuadrados es única.

  • Si no lo son, el sistema tiene infinitas soluciones, y la pseudoinversa $A^+$ devuelve la solución de mínima norma:

    \[\mathbf{x}^* = \arg\min_{\mathbf{x&#125;&#125; \| \mathbf{x} \|_2 \quad \text{sujeto a} \quad \min_{\mathbf{x&#125;&#125; \|A\mathbf{x} - \mathbf{b}\|_2\]

Formulación general en espacios vectoriales

El método de mínimos cuadrados también puede expresarse como un problema de proyección ortogonal en un espacio vectorial con producto interno:

\[\langle \mathbf{r}, A_i \rangle = 0, \quad \forall A_i \text{ columna de } A\]

donde el producto interno es el usual en $\mathbb{R}^m$:

\[\langle \mathbf{u}, \mathbf{v} \rangle = \mathbf{u}^T \mathbf{v}\]

Solución numérica eficiente

El cálculo directo de $(A^T A)^{-1}$ puede ser numéricamente inestable cuando $A$ es mal condicionada.
Por eso, se prefieren métodos más estables:

1. Descomposición QR

Si $A = QR$, con $Q$ ortogonal y $R$ triangular superior, entonces:

\[\mathbf{x}^* = R^{-1} Q^T \mathbf{b}\]

Este método evita formar explícitamente $A^T A$ y mejora la estabilidad numérica.

2. Descomposición SVD

Usando la descomposición en valores singulares:

\[A = U \Sigma V^T\]

entonces:

\[\mathbf{x}^* = V \Sigma^+ U^T \mathbf{b}\]

donde $\Sigma^+$ es la pseudoinversa de $\Sigma$.
Este método es el más robusto numéricamente y permite manejar casos donde $A$ no tiene rango completo.

Error cuadrático mínimo

El valor mínimo del error (residuo) se obtiene sustituyendo $\mathbf{x}^*$ en la función objetivo:

\[E_{\min} = \|\mathbf{b} - A\mathbf{x}^*\|_2^2\]

La norma del error depende de cuán bien el subespacio generado por las columnas de $A$ aproxima al vector $\mathbf{b}$.

Aplicaciones

  • Ajuste de curvas y regresión lineal: estimar parámetros de un modelo $y = A\mathbf{x} + \varepsilon$.
  • Filtrado y reconstrucción de señales en procesamiento digital.
  • Solución aproximada de sistemas inconsistentes en sistemas de ecuaciones lineales.
  • Reducción de ruido y compresión en análisis de datos.
  • Método de estimación estadística por mínimos cuadrados ordinarios (OLS).

Ejemplo práctico

Sea el sistema sobredeterminado:

\[\begin{cases} x + y = 2 \\ x - y = 0 \\ x + 2y = 3 \end{cases}\]

En forma matricial:

\[A = \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 1 & -1 \\ 1 & 2 \end{bmatrix}, \quad \mathbf{b} = \begin{bmatrix} 2 \\ 0 \\ 3 \end{bmatrix}\]

Ecuaciones normales:

\[A^T A = \begin{bmatrix} 3 & 2 \\ 2 & 6 \end{bmatrix}, \quad A^T \mathbf{b} = \begin{bmatrix} 5 \\ 8 \end{bmatrix}\]

Resolviendo:

\[\begin{bmatrix} 3 & 2 \\ 2 & 6 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 5 \\ 8 \end{bmatrix} \Rightarrow \begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \end{bmatrix}\]

Por tanto, la solución de mínimos cuadrados es $x = 1, y = 1$.

Conceptos relacionados

  • Sistemas de ecuaciones lineales
  • Transformaciones lineales y matrices
  • Descomposición QR
  • Descomposición en valores singulares (SVD)
  • Pseudoinversa de Moore-Penrose
  • Error numérico y estabilidad en cálculo numérico
  • Regresión lineal y ajuste de datos

Pseudoinversa y descomposición en valores singulares (SVD)

La pseudoinversa y la descomposición en valores singulares (SVD) son herramientas fundamentales en álgebra lineal y Cálculo numérico para resolver sistemas lineales, analizar transformaciones lineales y estudiar la estructura de matrices, especialmente cuando son rectangulares o singulares.

Pseudoinversa de Moore-Penrose

Dada una matriz $A \in \mathbb{R}^{m \times n}$, la pseudoinversa $A^+$ es la matriz única que satisface las condiciones de Moore-Penrose:

  1. $A A^+ A = A$
  2. $A^+ A A^+ = A^+$
  3. $(A A^+)^T = A A^+$
  4. $(A^+ A)^T = A^+ A$

Interpretación geométrica:

  • $A^+ \mathbf{b}$ proporciona la solución de mínima norma al sistema $A\mathbf{x} = \mathbf{b}$ cuando no existe solución exacta.
  • Proyecta $\mathbf{b}$ sobre el subespacio columna de $A$ para obtener la solución de mínimos cuadrados:
\[\mathbf{x}^* = A^+ \mathbf{b}, \quad \hat{\mathbf{b&#125;&#125; = A A^+ \mathbf{b}\]

Casos especiales:

  • Si $A$ tiene rango completo en columnas ($\text{rank}(A) = n$):
\[A^+ = (A^T A)^{-1} A^T\]
  • Si $A$ tiene rango completo en filas ($\text{rank}(A) = m$):
\[A^+ = A^T (A A^T)^{-1}\]

Descomposición en valores singulares (SVD)

La SVD es una descomposición de cualquier matriz $A \in \mathbb{R}^{m \times n}$ en tres matrices:

\[A = U \Sigma V^T\]

donde:

  • $U \in \mathbb{R}^{m \times m}$ es ortogonal ($U^T U = I_m$)
  • $V \in \mathbb{R}^{n \times n}$ es ortogonal ($V^T V = I_n$)
  • $\Sigma \in \mathbb{R}^{m \times n}$ es diagonal con entradas no negativas $\sigma_1 \ge \sigma_2 \ge \dots \ge \sigma_r > 0$ (los valores singulares) y ceros si $r < \min(m,n)$

Interpretación geométrica:

  • La SVD descompone la transformación lineal $\mathbf{x} \mapsto A\mathbf{x}$ en tres pasos:
  1. $V^T$: rota o refleja el espacio de entrada $\mathbb{R}^n$
  2. $\Sigma$: escala en direcciones ortogonales
  3. $U$: rota o refleja el espacio de salida $\mathbb{R}^m$
  • Cada valor singular $\sigma_i$ indica cuánto se escala la dirección correspondiente.

Relación entre pseudoinversa y SVD

Si $A = U \Sigma V^T$, entonces la pseudoinversa se obtiene como:

\[A^+ = V \Sigma^+ U^T\]

donde $\Sigma^+$ se forma tomando la inversa de cada valor singular no nulo y transponiendo la matriz resultante para que tenga tamaño $n \times m$.

Ventajas:

  • Funciona incluso si $A$ no tiene rango completo.
  • Proporciona una solución estable y mínima norma a sistemas sobredeterminados o subdeterminados.
  • Permite analizar la condición numérica de la matriz mediante el ratio $\sigma_1 / \sigma_r$.

Propiedades importantes

  1. Solución de mínimos cuadrados: \(\mathbf{x}^* = A^+ \mathbf{b}\)

  2. Proyección ortogonal: \(\hat{\mathbf{b&#125;&#125; = A A^+ \mathbf{b} = U \begin{bmatrix} I_r & 0 \\ 0 & 0 \end{bmatrix} U^T \mathbf{b}\)

  3. Rango de $A$:
    Número de valores singulares no nulos $r = \text{rank}(A)$

  4. Norma de la matriz:
    La norma 2 de $A$ es $|A|_2 = \sigma_1$
    La norma de Frobenius: $|A|_F^2 = \sum_i \sigma_i^2$

Ejemplo

Sea:

\[A = \begin{bmatrix} 3 & 1 \\ 0 & 2 \\ 0 & 0 \end{bmatrix} \in \mathbb{R}^{3 \times 2}\]

  1. SVD: \(A = U \Sigma V^T\) con $\Sigma = \begin{bmatrix} \sigma_1 & 0 \ 0 & \sigma_2 \ 0 & 0 \end{bmatrix}$, $\sigma_1, \sigma_2 > 0$

  2. Pseudoinversa: \(A^+ = V \Sigma^+ U^T\)

  3. Solución de mínimos cuadrados:
    Para $\mathbf{b} \in \mathbb{R}^3$: \(\mathbf{x}^* = A^+ \mathbf{b}, \quad \hat{\mathbf{b&#125;&#125; = A A^+ \mathbf{b}\)

Esto permite resolver sistemas sobredeterminados o subdeterminados y analizar la geometría de la transformación.

Aplicaciones

  • Resolución de sistemas de ecuaciones lineales inconsistentes.
  • Mínimos cuadrados y ajuste de datos.
  • Compresión de matrices y reducción de dimensión (PCA, reducción de rangos).
  • Procesamiento de señales e imágenes.
  • Estudio de estabilidad numérica y condición de matrices.

Conceptos relacionados

  • Matrices
  • Transformaciones lineales y matrices
  • Mínimos cuadrados
  • Bases ortogonales
  • Producto interno y ortogonalidad en espacios vectoriales sobre ℝ
  • Teorema espectral en ℝ
  • Descomposición QR
  • Regresión lineal y ajuste de datos