Álgebra lineal

matematicas
Intro Algebra lineal y ML
Cálculo numérico
Teoría de la probabilidad y teoría de la información
Matrices especiales
Descomposición propia
Descomposición del valor singular
Pseudoinverso de Moore-Penrose
Operador de seguimiento
Determinantes
Ejemplo: análisis de componentes principales
Matrices especiales

Las matrices especiales son aquellas con propiedades estructurales o algebraicas particulares que facilitan su análisis y cálculo. Algunas de las más relevantes son:

Matriz diagonal: solo tiene elementos distintos de cero en su diagonal principal. Simplifica operaciones como la multiplicación o la potenciación.
- Ejemplo: $D = \text{diag}(d_1, d_2, …, d_n)$
Matriz identidad: diagonal con todos los elementos diagonales iguales a 1. Actúa como elemento neutro en la multiplicación: $AI = IA = A$.
Matriz simétrica: $A = A^T$. Representa transformaciones donde los ejes principales permanecen ortogonales, muy usada en análisis de componentes principales (PCA).
Matriz ortogonal: $Q^TQ = QQ^T = I$. Sus columnas son vectores unitarios y ortogonales entre sí. Preserva la norma y los ángulos.
Matriz hermítica: versión compleja de la simétrica, donde $A = A^*$ (transpuesta conjugada).
Matriz unitaria: generalización compleja de la ortogonal. Cumple $U^*U = I$.
Matriz triangular: superior o inferior, según la ubicación de los ceros. Fundamental en métodos de factorización como LU o QR.
Matriz de permutación: representa un reordenamiento de filas o columnas.

Estas matrices suelen usarse en descomposiciones y transformaciones fundamentales del álgebra lineal y la computación científica.

Descomposición propia (Autovalores y autovectores)

La descomposición propia o descomposición espectral se aplica a matrices cuadradas, especialmente simétricas. Permite expresar una matriz $A$ como:

\[A = PDP^{-1}\]

donde:

$D$ es una matriz diagonal con los autovalores $\lambda_i$,
$P$ contiene los autovectores asociados en sus columnas.

Si $A$ es simétrica, entonces $P$ es ortogonal, y la descomposición se simplifica a:

\[A = Q \Lambda Q^T\]

Esta forma muestra que $A$ puede interpretarse como una combinación ponderada de direcciones invariantes.

Propiedades clave

Los autovalores indican la “intensidad” de la transformación en cada dirección propia.
Los autovectores indican las direcciones invariantes bajo la transformación.
En geometría y PCA, representan los ejes principales de variación.

Descomposición del valor singular (SVD)

La descomposición en valores singulares (SVD) generaliza la descomposición propia a matrices no cuadradas. Toda matriz $A_{m \times n}$ puede escribirse como:

\[A = U \Sigma V^T\]

donde:

$U$ es ortogonal ($U^TU = I_m$),
$V$ es ortogonal ($V^TV = I_n$),
$\Sigma$ es diagonal (o rectangular) con los valores singulares $\sigma_i \ge 0$.

Interpretación

Los valores singulares representan la magnitud de la transformación lineal en direcciones específicas.
Las columnas de $U$ y $V$ son los vectores propios de $AA^T$ y $A^TA$, respectivamente.
Es útil en reducción de dimensiones, PCA, filtrado de ruido y compresión de datos.

Código (Ejemplo en Python)

import numpy as np

A = np.array([[3, 1], [1, 3]])
U, S, Vt = np.linalg.svd(A)

print("U =", U)
print("Valores singulares =", S)
print("Vt =", Vt)

Pseudoinverso de Moore-Penrose

El pseudoinverso de Moore-Penrose ( A^+ ) extiende el concepto de matriz inversa a matrices no cuadradas o singulares. Se define como la única matriz que cumple:

\[AA^{+}A = A, \qquad A^{+}AA^{+} = A^{+}, \qquad (AA^{+})^{T} = AA^{+}, \qquad (A^{+}A)^{T} = A^{+}A\]

Cálculo mediante la descomposición en valores singulares (SVD). Si $A = U \Sigma V^{T}$, entonces

\[A^{+} = V \,\Sigma^{+}\, U^{T}\]

donde $\Sigma^{+}$ se obtiene invirtiendo los valores singulares distintos de cero.

Aplicaciones

Resolver sistemas sobredeterminados o subdeterminados.
Minimizar errores cuadráticos (( Ax - b ^2 )).
Fundamental en regresión lineal y aprendizaje automático.

Código

import numpy as np

A = np.array([[1, 2], [3, 4], [5, 6]])
A_pinv = np.linalg.pinv(A)
print(A_pinv)

Operador de seguimiento (Trace)

El operador de seguimiento o traza de una matriz cuadrada ( A ) se define como la suma de sus elementos diagonales:

\[\text{tr}(A) = \sum_i a_{ii}\]

Propiedades

Linealidad: ( \text{tr}(A + B) = \text{tr}(A) + \text{tr}(B) ).
Invarianza por ciclo: ( \text{tr}(AB) = \text{tr}(BA) ).
Igual a la suma de los autovalores de ( A ).
En geometría, puede interpretarse como el rastro de una transformación lineal (cuánto “escala” el espacio).

Determinantes

El determinante de una matriz cuadrada ( A ) mide el factor de escala de la transformación lineal que representa. Si ( \det(A) = 0 ), la matriz no es invertible.

Propiedades

( \det(AB) = \det(A)\det(B) )
( \det(A^T) = \det(A) )
Si ( A ) es triangular, su determinante es el producto de los elementos diagonales.
( \det(A^{-1}) = 1/\det(A) )

Interpretación geométrica

Representa el cambio de volumen (o área en 2D) bajo la transformación.
El signo del determinante indica si hay una inversión de orientación (reflexión).

Código

import numpy as np

A = np.array([[2, 3], [1, 4]])
detA = np.linalg.det(A)
print(detA)

Ejemplo: Análisis de Componentes Principales (PCA)

El PCA es una aplicación directa de la SVD y la descomposición propia. Su objetivo es reducir la dimensionalidad manteniendo la mayor varianza posible.

Proceso

Estandarizar los datos.
Calcular la matriz de covarianza ( C = \frac{1}{n-1} X^TX ).
Obtener autovalores y autovectores de ( C ).
Ordenar los autovectores por los autovalores más grandes.
Proyectar los datos sobre las nuevas componentes principales.

Código

import numpy as np

X = np.array([[1, 2], [3, 4], [5, 6]])
X_centered = X - np.mean(X, axis=0)
cov = np.cov(X_centered, rowvar=False)
eigvals, eigvecs = np.linalg.eig(cov)
X_pca = X_centered.dot(eigvecs[:, :1])

print("Autovalores:", eigvals)
print("Autovectores:", eigvecs)
print("Datos proyectados:", X_pca)

Interpretación

Los autovectores indican las direcciones principales del espacio de datos.
Los autovalores cuantifican la varianza explicada por cada componente.
PCA es base para técnicas de reducción de dimensionalidad, machine learning y análisis estadístico.

Fundamentos de Álgebra Lineal

El álgebra lineal es la rama de las matemáticas que estudia los vectores, las matrices y las transformaciones lineales entre espacios vectoriales. Constituye la base de gran parte de la matemática aplicada, la física, la estadística y la computación científica.

Vectores

Un vector es un elemento de un espacio vectorial que puede representarse como una lista ordenada de números, llamados componentes.

\[\vec{v} = \begin{bmatrix} v_1 \\ v_2 \\ \vdots \\ v_n \end{bmatrix}\]

Interpretación

Geométricamente, representa una dirección y una magnitud.
Algebraicamente, se interpreta como un punto o tupla de coordenadas.

Operaciones básicas

Suma de vectores:
$\vec{u} + \vec{v} = (u_1 + v_1, u_2 + v_2, ..., u_n + v_n)$
Multiplicación por un escalar:
$c\vec{v} = (cv_1, cv_2, ..., cv_n)$
Producto escalar (o punto):
$\vec{u} \cdot \vec{v} = \sum_i u_i v_i$
Norma (longitud):
$\|\vec{v}\| = \sqrt{\vec{v} \cdot \vec{v}}$

Estas operaciones permiten construir conceptos más avanzados como la proyección, la ortogonalidad y las transformaciones lineales.

Espacios vectoriales

Un espacio vectorial es un conjunto de vectores junto con dos operaciones:

Suma de vectores
Multiplicación por escalares

Estas operaciones deben satisfacer axiomas como asociatividad, conmutatividad, existencia de un vector nulo y de inversos aditivos.

Ejemplo:
El conjunto $\mathbb{R}^n$ con las operaciones habituales de suma y multiplicación por escalar es un espacio vectorial.

Subespacios

Un subespacio es un subconjunto de un espacio vectorial que también cumple los axiomas del espacio vectorial.
Ejemplo: el conjunto de vectores de $\mathbb{R}^3$ que yacen en un plano que pasa por el origen.

Combinaciones lineales

Una combinación lineal de vectores $\vec{v}_1, \vec{v}_2, …, \vec{v}_k$ es cualquier vector que se pueda expresar como:

\[\vec{w} = c_1 \vec{v}_1 + c_2 \vec{v}_2 + ... + c_k \vec{v}_k\]

donde $c_i$ son escalares.

El conjunto de todas las combinaciones lineales posibles se llama el subespacio generado o espacio generado por esos vectores, denotado como:

\[\text{span}\{\vec{v}_1, ..., \vec{v}_k\}\]

Independencia lineal

Un conjunto de vectores es linealmente independiente si ninguno de ellos puede escribirse como combinación lineal de los demás.

Formalmente, los vectores $\vec{v}_1, …, \vec{v}_k$ son independientes si:

\[c_1 \vec{v}_1 + ... + c_k \vec{v}_k = 0 \implies c_1 = c_2 = ... = c_k = 0\]

Si esta condición no se cumple, el conjunto es dependiente.

Base y dimensión

Una base de un espacio vectorial es un conjunto de vectores linealmente independientes que generan todo el espacio.

Toda combinación lineal de los vectores de la base puede representar únicamente un vector del espacio.
La dimensión del espacio es el número de vectores de cualquier base.

Ejemplos:

En $\mathbb{R}^2$, una base estándar es ${(1,0), (0,1)}$.
En $\mathbb{R}^3$, la base estándar es ${(1,0,0), (0,1,0), (0,0,1)}$.

Transformaciones lineales

Una transformación lineal es una función $T: V \to W$ entre espacios vectoriales que cumple:

\[T(\vec{u} + \vec{v}) = T(\vec{u}) + T(\vec{v}), \quad T(c\vec{v}) = cT(\vec{v})\]

Toda transformación lineal puede representarse mediante una matriz que actúa sobre vectores por medio de la multiplicación matricial:

\[T(\vec{v}) = A\vec{v}\]

Propiedades

Conservan el origen y las combinaciones lineales.
Pueden rotar, escalar, reflejar o proyectar espacios.
Sus efectos geométricos pueden analizarse a través de los autovalores y autovectores de la matriz asociada.

Código (Ejemplo de transformación lineal)

import numpy as np

A = np.array([[2, 0], [0, 3]])  # Escala el eje x por 2 y el eje y por 3
v = np.array([1, 2])
T_v = A @ v

print("Vector transformado:", T_v)

Aplicaciones básicas

Representación de sistemas de ecuaciones lineales.
Análisis geométrico de rotaciones y proyecciones.
Cálculo de mínimos cuadrados.
Base teórica para vectores, matrices y descomposición del valor singular.

Conceptos relacionados

Vectores y operaciones vectoriales
Matrices y operaciones matriciales
Espacios vectoriales y subespacios
Transformaciones lineales y matrices asociadas
Descomposición propia
PCA y reducción de dimensionalidad

Lenguaje matemático del Álgebra Lineal

Comprender el lenguaje simbólico y formal del álgebra lineal es esencial para poder interpretar correctamente sus definiciones, teoremas y demostraciones.
Esta nota introduce la notación, símbolos, y convenciones más comunes que aparecen en libros, artículos o clases de álgebra lineal.

Símbolos y notaciones fundamentales

Conjuntos numéricos

$\mathbb{N}$: números naturales $(0, 1, 2, 3, …)$
$\mathbb{Z}$: números enteros $(…, -2, -1, 0, 1, 2, …)$
$\mathbb{Q}$: números racionales (fracciones)
$\mathbb{R}$: números reales (línea continua)
$\mathbb{C}$: números complejos $(a + bi)$

En álgebra lineal trabajamos principalmente sobre $\mathbb{R}$ o $\mathbb{C}$, llamados campos base.

Notación de vectores y matrices

Vector columna:
$\vec{v} = \begin{bmatrix} v_1 \\ v_2 \\ \vdots \\ v_n \end{bmatrix}$ Se representa con flecha ($\vec{v}$), letra minúscula negrita (v) o letra en minúscula (según el contexto).
Matriz:
Una colección rectangular de números: $A = \begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{m1} & a_{m2} & \cdots & a_{mn} \end{bmatrix}$
Dimensiones:
- Si $A$ tiene $m$ filas y $n$ columnas, se dice que $A \in \mathbb{R}^{m \times n}$.
- Un vector columna $\vec{v} \in \mathbb{R}^n$ puede verse como una matriz $n \times 1$.
Índices:
- El elemento $a_{ij}$ está en la i-ésima fila y j-ésima columna.
- El subíndice suele empezar en 1: $a_{11}, a_{12}, …$

Operaciones y símbolos comunes

Símbolo	Nombre	Significado
$+$	Suma	Adición de vectores o matrices
$-$	Resta	Diferencia de vectores o matrices
$\cdot$ o $\langle \vec{u}, \vec{v} \rangle$	Producto escalar	Multiplicación componente a componente y suma
$\times$	Producto vectorial	Solo en $\mathbb{R}^3$
$AB$	Producto matricial	Multiplicación entre matrices compatibles
$A^T$	Transpuesta	Intercambia filas y columnas
$A^{-1}$	Inversa	Matriz que satisface $AA^{-1} = I$
$\det(A)$	Determinante	Escalar que mide el cambio de volumen
$\text{tr}(A)$	Trazar / Trace	Suma de los elementos diagonales
$\| \vec{v} \|$	Norma	Longitud o magnitud del vector
$\lambda$	Autovalor	Escala un autovector en una transformación lineal
$\vec{v}$	Autovector	Vector propio asociado a $\lambda$

Notación funcional

Las transformaciones lineales se suelen escribir como funciones:

$T: V \to W$ $T(\vec{v}) = A\vec{v}$

donde $T$ es la transformación, $V$ y $W$ son espacios vectoriales, y $A$ es la matriz asociada.

Ejemplo

$T: \begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix} \mapsto \begin{bmatrix} 2x + y \\ x - y \end{bmatrix}$

Esto puede representarse como una multiplicación matricial:

\[T(\vec{v}) = \begin{bmatrix} 2 & 1 \\ 1 & -1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix}\]

Expresiones y cuantificadores

El álgebra lineal usa notación lógica para definir propiedades y teoremas:

$\forall$: “para todo”
$\forall \vec{v} \in V, \, T(c\vec{v}) = cT(\vec{v})$
$\exists$: “existe”
$\exists \lambda \in \mathbb{R} \, / \, A\vec{v} = \lambda\vec{v}$
$\implies$: “implica que”
$\text{A invertible} \implies \det(A) \ne 0$
$\iff$: “si y solo si”
$A$ es invertible $\iff$ sus columnas son linealmente independientes.

Notación vectorial y geométrica

Ángulos y ortogonalidad

Dos vectores son ortogonales si su producto escalar es cero: $\vec{u} \cdot \vec{v} = 0$ y forman un ángulo de $90^\circ$.

Proyecciones

La proyección de $\vec{u}$ sobre $\vec{v}$ se denota: $\text{proj}_{\vec{v}}(\vec{u}) = \frac{\vec{u} \cdot \vec{v}}{\|\vec{v}\|^2} \vec{v}$

Convenciones tipográficas

Letras mayúsculas → matrices ($A, B, C, …$)
Letras minúsculas con flecha o negrita → vectores ($\vec{v}, \vec{u}, \mathbf{x}$)
Letras griegas → escalares especiales o autovalores ($\lambda, \mu, \sigma$)
$I$ → matriz identidad
$0$ → vector o matriz nula, según el contexto

Estructura típica de una expresión

Ejemplo de expresión simbólica con significado completo:

\[A\vec{x} = \vec{b}\]

Donde:

$A \in \mathbb{R}^{m \times n}$: matriz de coeficientes
$\vec{x} \in \mathbb{R}^n$: vector de incógnitas
$\vec{b} \in \mathbb{R}^m$: vector de resultados

Esta ecuación representa un sistema de ecuaciones lineales.

Recomendaciones para leer expresiones matemáticas

Identificar el tipo de objeto: escalar, vector o matriz.
Analizar las dimensiones: comprobar que las operaciones sean válidas.
Distinguir entre símbolos abstractos y concretos:
- $A$ puede representar una matriz genérica o una matriz específica.
Buscar patrones: los teoremas y propiedades suelen repetirse con diferentes nombres o símbolos.
Relacionar con su interpretación geométrica: visualizar ayuda a entender los significados algebraicos.

Conceptos relacionados

Fundamentos de Álgebra Lineal
Vectores y operaciones vectoriales
Matrices y operaciones matriciales
Transformaciones lineales y matrices asociadas
Espacios vectoriales
Notación matemática general

Problemas y soluciones de Álgebra Lineal

Esta nota reúne problemas básicos con soluciones paso a paso, útiles para practicar y reforzar la comprensión de los conceptos del Fundamentos de Álgebra Lineal y Lenguaje matemático del Álgebra Lineal.

Los diagramas Mermaid se usan para representar visualmente flujos de operaciones o relaciones entre vectores, matrices y transformaciones.

🧩 Problema 1: Suma y multiplicación escalar de vectores

Sean los vectores: $\vec{u} = (2, -1, 3), \quad \vec{v} = (1, 4, -2)$

Calcular:

$\vec{u} + \vec{v}$
$2\vec{u} - 3\vec{v}$

Solución paso a paso

Suma de vectores $\vec{u} + \vec{v} = (2+1, -1+4, 3+(-2)) = (3, 3, 1)$
Combinación lineal $2\vec{u} - 3\vec{v} = 2(2, -1, 3) - 3(1, 4, -2)$ $= (4, -2, 6) - (3, 12, -6) = (1, -14, 12)$

Representación Mermaid

graph LR
	A["2u = (4, -2, 6)"]
	B["3v = (3, 12, -6)"]
	C["2u - 3v = (1, -14, 12)"]
	A --> C
	B --> C

🧮 Problema 2: Producto escalar y ángulo entre vectores

Dados:
$\vec{a} = (2, 1), \quad \vec{b} = (3, 4)$

Calcular:

$\vec{a} \cdot \vec{b}$
El ángulo entre ellos.

🧩 Solución

Producto escalar:

\[\vec{a} \cdot \vec{b} = 2\cdot3 + 1\cdot4 = 10\]

Normas de los vectores:

\[|\vec{a}| = \sqrt{2^2 + 1^2} = \sqrt{5}, \quad |\vec{b}| = \sqrt{3^2 + 4^2} = 5\]

Ángulo entre los vectores:

\[\cos(\theta) = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}||\vec{b}|} = \frac{10}{5\sqrt{5}} = \frac{2}{\sqrt{5}}\] \[\Rightarrow \theta = \cos^{-1}\left(\frac{2}{\sqrt{5}}\right) \approx 26.6^\circ\]

💡 Interpretación geométrica

El ángulo pequeño indica que los vectores $\vec{a}$ y $\vec{b}$ apuntan en direcciones similares, lo que se traduce en una alta proyección mutua (gran componente de uno sobre el otro).

Puedes visualizar la relación entre ellos con el siguiente diagrama (opcional, si usas Mermaid):

graph TD
	A["(0,0)"] --> B["(2,1)  →  𝒂"]
	A --> C["(3,4)  →  𝒃"]

Representación Mermaid

graph TD
	A["a = (2,1)"]
	B["b = (3,4)"]
	C["a·b = 10"]
	D["θ ≈ 26.6°"]
	A --> C
	B --> C
	C --> D

🧩 Problema 3: Sistema de ecuaciones lineales

Resolver:
$\begin{cases} x + 2y = 5 \\ 3x - y = 4 \end{cases}$

💡 Solución matricial

\[A = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & -1 \end{bmatrix}, \quad \vec{x} = \begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix}, \quad \vec{b} = \begin{bmatrix} 5 \\ 4 \end{bmatrix}\]

Entonces:
$A\vec{x} = \vec{b}$

Determinante: $\det(A) = (1)(-1) - (3)(2) = -7 \neq 0$

Por tanto, $A$ es invertible:

\[A^{-1} = \frac{1}{-7} \begin{bmatrix} -1 & -2 \\ -3 & 1 \end{bmatrix}\]

Solución: $\vec{x} = A^{-1}\vec{b} = \frac{1}{-7} \begin{bmatrix} -1 & -2 \\ -3 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 5 \\ 4 \end{bmatrix} = \frac{1}{-7} \begin{bmatrix} -13 \\ -11 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 13/7 \\ 11/7 \end{bmatrix}$

📊 Representación Mermaid

graph TD
	A["Sistema lineal A·x = b"]
	B["A invertible → A⁻¹ existe"]
	C["x = A⁻¹·b"]
	A --> B --> C

🔢 Problema 4: Transformación lineal y su efecto geométrico

Sea la transformación ( T: \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}^2 ) dada por:
$T(x, y) = (2x - y, , x + y)$

Determinar:

La matriz asociada.
El efecto geométrico.

💡 Solución

Aplicamos (T) a los vectores base:

\[T(1,0) = (2,1), \quad T(0,1) = (-1,1)\]

Por tanto:

\[A = \begin{bmatrix} 2 & -1 \ 1 & 1 \end{bmatrix}\]

Efecto geométrico:
- Escala el eje (x) por 2 y lo combina con (y).
- Rota y estira el plano en direcciones oblicuas.

🧭 Representación Mermaid

graph LR
	X["(x, y)"]
	Y["T(x,y) = (2x - y, x + y)"]
	Z["Transformación: escala + rotación"]
	X --> Y --> Z

📘 Problema 5: Autovalores y autovectores

Sea:
$A = \begin{bmatrix} 4 & 1 \ 2 & 3 \end{bmatrix}$

Encontrar los autovalores y autovectores.

💡 Solución

Ecuación característica:

\[\det(A - \lambda I) = \begin{vmatrix} 4 - \lambda & 1 \ 2 & 3 - \lambda \end{vmatrix} = (4-\lambda)(3-\lambda) - 2 = \lambda^2 - 7\lambda + 10 = 0\] \[\Rightarrow \lambda_1 = 5, \quad \lambda_2 = 2\]

Autovectores:

Para (\lambda_1 = 5):
$(A - 5I)\vec{v} = 0 \Rightarrow \begin{bmatrix} -1 & 1 \ 2 & -2 \end{bmatrix} \Rightarrow \vec{v}_1 = (1, 1)$

Para (\lambda_2 = 2):
$(A - 2I)\vec{v} = 0 \Rightarrow \begin{bmatrix} 2 & 1 \ 2 & 1 \end{bmatrix} \Rightarrow \vec{v}_2 = (1, -2)$

✅ Resultado final

\[\lambda_1 = 5, \quad \vec{v}_1 = (1,1)\]

$\lambda_2 = 2, \quad \vec{v}_2 = (1,-2)$

Representación Mermaid

graph TD
	A["A"]
	B["Ecuación característica → det(A - λI) = 0"]
	C["λ₁ = 5, λ₂ = 2"]
	D["Vectores propios v₁ = (1,1), v₂ = (1,-2)"]
	A --> B --> C --> D

🧠 Recomendaciones de práctica

Cambia los números y verifica que el proceso se mantiene.
Intenta representar gráficamente los vectores antes y después de transformarlos.
Usa Fundamentos de Álgebra Lineal y Lenguaje matemático del Álgebra Lineal como referencia teórica para comprender cada paso.

Conceptos relacionados

Vectores y operaciones vectoriales
Matrices y operaciones matriciales
Transformaciones lineales y matrices asociadas
Descomposición propia
PCA y espacios vectoriales

Álgebra lineal

Matrices especiales

Descomposición propia (Autovalores y autovectores)

Propiedades clave

Descomposición del valor singular (SVD)

Interpretación

Código (Ejemplo en Python)

Pseudoinverso de Moore-Penrose

Aplicaciones

Código

Operador de seguimiento (Trace)

Propiedades

Determinantes

Propiedades

Interpretación geométrica

Código

Ejemplo: Análisis de Componentes Principales (PCA)

Proceso

Código

Interpretación

Fundamentos de Álgebra Lineal

Vectores

Interpretación

Operaciones básicas

Espacios vectoriales

Subespacios

Combinaciones lineales

Independencia lineal

Base y dimensión

Transformaciones lineales

Propiedades

Código (Ejemplo de transformación lineal)

Aplicaciones básicas

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Lenguaje matemático del Álgebra Lineal

Símbolos y notaciones fundamentales

Conjuntos numéricos

Notación de vectores y matrices

Operaciones y símbolos comunes

Notación funcional

Ejemplo

Expresiones y cuantificadores

Notación vectorial y geométrica

Ángulos y ortogonalidad

Proyecciones

Convenciones tipográficas

Estructura típica de una expresión

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Problemas y soluciones de Álgebra Lineal

🧩 Problema 1: Suma y multiplicación escalar de vectores

Solución paso a paso

Representación Mermaid

🧮 Problema 2: Producto escalar y ángulo entre vectores

🧩 Solución

💡 Interpretación geométrica

Representación Mermaid

🧩 Problema 3: Sistema de ecuaciones lineales

💡 Solución matricial

📊 Representación Mermaid

🔢 Problema 4: Transformación lineal y su efecto geométrico

💡 Solución

🧭 Representación Mermaid

📘 Problema 5: Autovalores y autovectores

💡 Solución

✅ Resultado final

Representación Mermaid

🧠 Recomendaciones de práctica

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